Buenas!
**1) ** Sea \({F} = {p}^{3} . {x}^{3} - \left( 3. {p}^{2} + {p} \left) . {x}^{2} + \left( {p}^{2} + 3 \left) . {x} - 1\). Para cada p entero primo encontrar las raices racionales positivas de F. Factorizar F para p = 2 y p = 3.
**2) ** Probar que \(\frac{1}{5} . {n}^{5} + \frac{1}{3} . {n}^{3} + \frac{7}{15} . {n}\) es un numero entero para todo \({n} \in \mathbb{Z}\).
**3) ** Dado \({a} \in \lbrace 1,2,...,14 \rbrace\) y \({b} \in \lbrace 1,2,...,15 \rbrace\), ¿Cual es la probabilidad de que el sistema \({a}.{x} \equiv {b} \left( 15 \left)\) tenga solucion?
**4) ** Hallar todos los polinomios \(F \in \mathbb{R} \left[ x \left]\) de grado a lo sumo 3 tales que -1 es raiz multiple de F y ademas F(i)=F(-i).
**5) ** Llamemos R al primer cuadrante complejo, o sea
R := \(\lbrace {z} \in \mathbb{C} : {z} = 0\) o \(0 \leq Arg \left( {z} \left) \leq \frac{\pi}{2} \rbrace\).
Consideremos la funcion entre conjuntos \({F} : R \rightarrow \mathbb{C}\) dada por \({F} = {z}^{12}\). Probar que F es suryectiva y calcular \(\lbrace {w} \in R : F \left( w \left) = 1 + {i} \rbrace\).
Saludos!
Editado 2 veces.
Ejercicio 1:
Nota: Me parece que meti algun error de cuenta por alli que cambiaria el ejercicio, pero el planteo y la forma de encararlo es correcta.
$${F} = {p}^{3} . {x}^{3} - \left( 3. {p}^{2} + {p} \left) . {x}^{2} + \left( {p}^{2} + 3 \left) . {x} - 1$$
Como F tiene raices racionales, utilizando el metodo de Gauss podremos obtenerlas. Las posibles raices de F son: \(\pm 1,\pm \frac{1}{p},\pm \frac{1}{{p}^{2}},\pm \frac{1}{{p}^{3}}\)
Como me interesan solamente las raices positivas de F, quedaran: \(1,\frac{1}{p},\frac{1}{{p}^{2}},\frac{1}{{p}^{3}}\).
Analizamos por casos.
• \({F} \left( 1 \left) = 0\)
Realizamos el reemplazo en la ecuacion, operamos y obtenemos: \({p}^{3} - 2.{p}^{2} - {p} + 2 = 0\).
Obtenemos de aqui que: \({p} = 2, 1, -1\)
Pero p debe ser un entero y primo, por lo que descarto 1 y -1 y me queda que \({p} = 2\)
• \({F} \left( \frac{1}{p} \left) = 0\)
Realizamos el reemplazo en la ecuacion, operamos y obtenemos: \({p}^{2} - 3.{p} + 2 = 0\).
Obtenemos de aqui que: \({p} = 2, 1\)
Pero p debe ser un entero y primo, por lo que descarto 1 y me queda que \({p} = 2\).
• \({F} \left( \frac{1}{{p}^{2}} \left) = 0\)
Realizamos el reemplazo en la ecuacion, operamos y obtenemos: \(0 = 0\).
Por lo tanto, deducimos que para cualquier p primo que utilicemos en F, \(\frac{1}{{p}^{2}}\) sera raiz F.
• \({F} \left( \frac{1}{{p}^{3}} \left) = 0\)
Realizamos el reemplazo en la ecuacion, operamos y obtenemos: \(-{p}^{6} + {p}^{5} + 3.{p}^{3} - 3.{p}^{2} - {p} + 1 = 0\).
Obtenemos de aqui que el unico racional p que es raiz de esta ecuacion sera: \({p} = 1\)
Pero p debe ser un entero y primo, por lo que descarto lo descarto.
Analizo el Polinomio con P=2 y obtendre que las raicez racionales del mismo son: 1, 1/4 y 1/2.
La factorizacion en Q sera: (x - 1) . (x - 1/4) . (x - 1/2)
Analizo el Polinomio con P=3 y obtendre que las raicez racionales del mismo: 1/9
Las raices Reales del mismo: \(\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt[2]{1701}}{54}\)
La factorizacion en Q sera: \(\left( {x} - \frac{1}{9} \left) . \left( {x} - \left( \frac{1}{2} - \frac{\sqrt[2]{1701}}{54} \left) \left) . \left( {x} - \left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt[2]{1701}}{54} \left) \left)\)
Ejercicio 2:
QVQ \(\frac{1}{5} . {n}^{5} + \frac{1}{3} . {n}^{3} + \frac{7}{15} . {n}\) es entero para todo n Entero.
Como 15 es Entero, \(15. \left( \frac{1}{5} . {n}^{5} + \frac{1}{3} . {n}^{3} + \frac{7}{15} . {n} \left)\) tambien sera entero.
Por lo tanto \(3 . {n}^{5} + 5 . {n}^{3} + 7 . {n}\) sera entero y multiplo de 15.
Vemos entonces que \(3 . {n}^{5} + 5 . {n}^{3} + 7 . {n} \equiv 0 \left( 15 \left)\)
15 = 5 . 3
Por lo tanto...
$$3 . {n}^{5} + 5 . {n}^{3} + 7 . {n} \equiv 0 \left( 5 \left)$$
$$3 . {n}^{5} + 5 . {n}^{3} + 7 . {n} \equiv 0 \left( 3 \left)$$
$$\Rightarrow$$
$$3 . {n}^{5} + 0 . {n}^{3} + 2 . {n} \equiv 0 \left( 5 \left)$$
$$0 . {n}^{5} + 2 . {n}^{3} + 1 . {n} \equiv 0 \left( 3 \left)$$
$$\Rightarrow$$
$$3 . {n}^{5} + 2 . {n} \equiv 0 \left( 5 \left)$$
$$2 . {n}^{3} + {n} \equiv 0 \left( 3 \left)$$
Como 5 es primo, por Fermat sabemos que:\({n}^{5} \equiv n \left( 5 \left)\)
Como 3 es primo, por Fermat sabemos que: \({n}^{3} \equiv n \left( 3 \left)\)
$$\Rightarrow$$
$$3 . {n} + 2 . {n} \equiv 0 \left( 5 \left)$$
$$2 . {n} + {n} \equiv 0 \left( 3 \left)$$
$$\Rightarrow$$
$$5 . {n} \equiv 0 \left( 5 \left)$$
$$3 . {n} \equiv 0 \left( 3 \left)$$
$$\Rightarrow$$
$$0 . {n} \equiv 0 \left( 5 \left)$$
$$0 . {n} \equiv 0 \left( 3 \left)$$
$$\Rightarrow$$
$$0 \equiv 0 \left( 5 \left)$$
$$0 \equiv 0 \left( 3 \left)$$
$$\Rightarrow$$
Como vemos, para todo n entero, obtendremos esta trivialidad; por lo tanto \(\frac{1}{5} . {n}^{5} + \frac{1}{3} . {n}^{3} + \frac{7}{15} . {n}\) es entero para todo n Entero.
Ejercicio 3:
\({a} \in \lbrace 1,2,...,14 \rbrace\) y \({b} \in \lbrace 1,2,...,15 \rbrace\)
$${a}.{x} \equiv {b} \left( 15 \left) \Longleftrightarrow b | \left( a : 15 \left)$$
Veamos los casos posibles...
\({a} = 1,2,4,7,8,11,13,14 \Rightarrow \left( {a} : 15 \left) = 1 \Rightarrow\) 15 Casos Favorables cada uno \(\Rightarrow 15.8 = 120\)
\({a} = 3,6,9,12 \Rightarrow \left( {a} : 15 \left) = 3 \Rightarrow\) 6 Casos Favorables cada uno \(\Rightarrow 6.4 = 24\)
\({a} = 5,10 \Rightarrow \left( {a} : 15 \left) = 5 \Rightarrow\) 4 Casos Favorables cada uno \(\Rightarrow 2.4 = 8\)
$$120 + 24 + 8 = 152$$
Casos Posibles: 14*15 = 210
Total: \(\frac{152}{210}\)
Ejercicio 4:
Como F es de grado 3, podre expresarlo como \({F} \left[ x \left] = {a}.{x}^{3} + {b}.{x}^{2} + {c}.{x} + {d}\)
Como (-1) es raiz multiple de x entonces:
$${F} \left[ -1 \left] = 0 \Rightarrow -{a}+{b}-{c}+{d} = 0$$
$${F'} \left[ -1 \left] = 0 \Rightarrow 3.{a} - 2.{b} + {c} = 0$$
Conocemos ademas que \({F} \left[ i \left] = {F} \left[ -i \left]\). Reemplazando, igualando y despejando...
\({a} = {c}\).
Juntamos nuestras 3 ecaciones...
$$\Rightarrow$$
$${a} = {c}$$
$$-{a}+{b}-{c}+{d} = 0$$
$$3.{a} - 2.{b} + {c} = 0$$
Despejamos y obtendremos que F puede escribirse de la forma...
\({F} \left[ {x} \left] = {a}.{x}^{3} + 2.{a}.{x}^{2} + {a}.{x}\)
Ejercicio 5: Incompleto, ayuda!
QVQ F es Suryectiva.
Si \({w} \in \mathbb{C} \Rightarrow \exists {z} \in {R} : {F} \left( {z} \left) = {w}\) .
$${z}^{12} = w$$
Dos complejos son iguales si sus modulos son iguales y sus argumentos difieren en \(2.{k}.\pi\).
$$|{z}^{12}| = |{w}| \Rightarrow {z} = \sqrt[12]{{|w|}}$$
$$Arg \left( {z}^{12} \left) = Arg \left( {w} \left) + 2.{k}.\pi \Rightarrow 12. Arg \left( {z} \left) = Arg \left( {w} \left) + 2.{k}.\pi \Rightarrow Arg \left( {z} \left) = \frac{Arg \left( {w} \left) + 2.{k}.\pi}{12}$$
Estoy algo colgado aca realmente...
Saludos!
Editado 8 veces.
Una pregunta, para el 1, cuando dice "p entero primo", entonces p puede ser negativo también (-7 ponele), entonces por que considerás solo las versiones positivas de \(\frac{1}{p^k}\) (si p = -7, es negativo ese número)?
EDIT: Otra pregunta, si \(F = {p}^{3} . {x}^{3} - \left( 3. {p}^{3} + {p} \left) . {x}^{2} + \left( {p}^{2} + 3 \left) . {x} + 1\), y decís \(F(1) = 0\), entonces no me queda \({p}^{3} - 2.{p}^{2} - {p} + 2 = 0\), me queda \({p^3 - (3p^3+p) + (p^2+3) + 1 = 0 \iff p^3 - 3p^3 -p + p^2 + 4 = 0 \iff -2p^3 + p^2 -p + 4 = 0}\), que no tiene soluciones racionales...
Firma
Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.
FJL escribió:
Una pregunta, para el 1, cuando dice "p entero primo", entonces p puede ser negativo también (-7 ponele), entonces por que considerás solo las versiones positivas de \(\frac{1}{p^k}\) (si p = -7, es negativo ese número)?
EDIT: Otra pregunta, si \(F = {p}^{3} . {x}^{3} - \left( 3. {p}^{3} + {p} \left) . {x}^{2} + \left( {p}^{2} + 3 \left) . {x} + 1\), y decís \(F(1) = 0\), entonces no me queda \({p}^{3} - 2.{p}^{2} - {p} + 2 = 0\), me queda \({p^3 - (3p^3+p) + (p^2+3) + 1 = 0 \iff p^3 - 3p^3 -p + p^2 + 4 = 0 \iff -2p^3 + p^2 -p + 4 = 0}\), que no tiene soluciones racionales...
Porque me pide encontrar las raices racionales positivas, por lo que si p es negativo, \(\frac{1}{{p}^{n}}\) es negativo cuando n es impar, por lo tanto desestimo los casos de p negativo.
Sin embargo si tengo p negativo pero elevado a un n par entonces es un caso valido; pero nota que en mi desarrollo, obtuve que \(\frac{1}{{p}^{2}},\) era raiz del polinomio para cualquier p entero primo.
EDIT: Disculpa, copie dos cosas mal:
Un "+ 1" al final de la ecuacion y era un "- 1".
En la parte de grado 2 de la ecuacion (\({x}^{2}\)) lo que venia antes era un: \(\left( 3 . {p}^2 + {p} \left)\) y no un \(\left( 3 . {p}^3 + {p} \left)\).
Ya lo correi en el problema y en la solucion tambien!
Saludos!
Pregunta para el 3,
la condición no es que \((a:15) \mid b\), con lo cual la respuesta es \(\frac{146}{210}\)?
O sea, \(a.x \equiv b \pmod{15} \iff a.x + k.15 = b\), para algún k. Pero esto solo pasa si \((a:15)\mid b\).
Fijate que si fuera \(b \mid (a:15)\), poniendo b = 1, siempre podría encontrar una solución a las ecuaciones que igualo a 1, porque 1 divide a todo. De esta forma, solo puedo encontrar soluciones igual a 1 si el mcd es 1.
EDIT:
Y para el 4, la \(i\) de ahí es la de los complejos, o un \(\forall\ i \in \{alg\'un\ conjunto\}\)?
Para el 4, fijate que
si se puede escribir de esa forma, entonces podés sacar x de factor común, y 0 es raíz.
Para el 5,
Considerá el argumento de tu w en C como el ángulo en el plano que forma. Está entre 0 y 360º. Entonces el ángulo de w, dividido por 12, está entre 0 y 30º, que cae dentro de tu cuadrante. Entonces pase lo que pase, si considerás
$$z = \sqrt[12]{|w|} . (cos(\frac{arg(w)}{12}) + i sen(\frac{arg(w)}{12}))$$
Este flaco está en \(R\), y resulta que \(f(z) = w, \forall\ w \in \mathbb{C}\).
Buenas.
El 3 ya fue corregido, pero me dio 152... Quizas meti algun error de cuenta (muy tipico de mi!) cosa que no importa demasiado pues lo importante era el metodo para resolverlo.
Del 4, ya estaba conciente, pero como en el parcial lo habia dejado asi y me pusieron B... lo transcribi asi! Igual es bueno resaltarlo.
Gracias por la aclaracion en el 5.
Saludos!