Buenas.
2° Parcial
Fecha: 05-07-2008
**1) ** Supongamos que tenemos dos enteros \({a}\) y \({b}\) tales que \({a}^{n} \equiv {b}^{n} \left( {m} \left)\) para todo \({n}\) mayor o igual que 2. Decidir si nescesariamente \({a} \equiv {b} \left( {m} \left)\) en los siguientes casos:
**(a) ** \({m} = 4\)
**(b) ** \({m}\) primo.
**(c) ** \({m} = \left( {p} . {q} \left)\) con \({p}, {q}\) primos distintos.
**2) ** Sea \({a} \in \mathbb{Z}\) tal que \(\left( {a}^{206} - 51 : 170 \left) = 17\). Calcular \(\left( {a}^{27} - 136 : {2}^{4} . 5 . {17}^{2} \left)\).
**3) ** Sea \({F} \left( {x} \left) = {x}^{4} + {x}^{3} - 6.{x}^{2} - 20.{x} - 16\). Se sabe que \({F} \left( {x} \left)\) tiene una raiz compleja no real de modulo 2. Factorizar \({F} \left( {x} \left)\) en \(\mathbb{Q} \left( {x} \left)\), \(\mathbb{R} \left( {x} \left)\), \(\mathbb{C} \left( {x} \left)\).
**4) ** Sea \({G} \left( {x} \left) = - {z}^{12} + {i} . {z}^{6} + 1\).
**(a) ** Probar que \({G} \left( {z} \left)\) no tiene raices multiples.
**(b) ** Hallar todas las raices complejas de \({G} \left( {z} \left)\).
**5) **
**(a) ** Sea \({w} = \cos \left( \frac{2 . \pi}{150} \left) + {i} . \sen \left( \frac{2 . \pi}{150} \left)\). Probar que existen \({x} \in {G}_{20}\) tales que \({w} = {x} . {y}\), donde \({G}_{m}\) denota el conjunto de raices m-esimas de la unidad.
**(b) ** Hallar el cardinal del conjunto \(\lbrace \left( {x},{y} \left) : {x} \in {G}_{6} , {y} \in {G}_{8} , {x} . {y} = 1 \rbrace\).
Saludos!
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Ejercicio 1:
\({a} , {b} \in \mathbb{Z}\)
$${a} \equiv {b} \left( {m} \left) \forall {n} \geq 2$$
**(a) **
\({a}^{n} \equiv {b}^{n} \left( {4} \left) \forall {n} \geq 2 \Rightarrow\) ¿ \({a} \equiv {b} \left( {4} \left)\) ?
$$\Rightarrow 4 | {a}^{n} - {b}^{n}$$
Gracias Quimey por el contraejemplo:
Sea \({a} = 2\) y \({b} = 0 \Rightarrow {2}^{n} \equiv {0}^{n} \left( {4} \left) \Rightarrow {2}^{n} \equiv 0 \left( {4} \left)\). Verdadero \(\forall {n} \geq 2\)
Sin embargo \({2} \neq 0 \left( {4} \left)\)!
**(b) **
$${a}^{n} \equiv {b}^{n} \left( {m} \left)$$
Como \({m}\) es primo, por Fermat:
$$\Rightarrow {a}^{m} \equiv {a} \left( {m} \left) \Rightarrow {a} \equiv {b}^{m} \left( {m} \left)$$
$${b}^{n} \equiv {a}^{n} \left( {m} \left)$$
Como \({m}\) es primo, por Fermat:
$$\Rightarrow {b}^{m} \equiv {b} \left( {m} \left) \Rightarrow {b} \equiv {a}^{m} \left( {m} \left)$$
De ambos resultados, deducimos que \({a} \equiv {b} \left( {m} \left)\)
**(c) **
$${a}^{n} \equiv {b}^{n} \left( {m} \left)$$
Como \({m} = {p} . {q}\) con \(\left( {p} : {q} \left) = 1 \Rightarrow\)
$${a}^{n} \equiv {b}^{n} \left( {m} \left) \Longleftrightarrow$$
\({a}^{n} \equiv {b}^{n} \equiv \left( {p} \left)\) y \({a}^{n} \equiv {b}^{n} \equiv \left( {q} \left)\)
Pero por lo que probamos en (b):
\(\Rightarrow {a} \equiv {b} \equiv \left( {p} \left)\) y \({a} \equiv {b} \equiv \left( {q} \left)\)
Pero nuevamente, utilizando que \(\left( {p} : {q} \left) = 1\), existe una solucion modulo \({p} . {q}\):
\({a} \equiv {b} \left( {p} . {q} \left) \Longleftrightarrow {a} \equiv {b} \left( {m} \left)\)
Ejercicio 2:
Vemos que ... \(170 = 17 .5 . {2}^{3}\), Por lo tanto:
$$\left( {a}^{206} - 51 : 170 \left) = 17 \Rightarrow \left( {a}^{206} - 51 : 17.{2}^{3}.5 \left) = 17$$
• Sabemos que \({a}^{206} - 51 \equiv 0 \left( 17 \left) \Rightarrow {a}^{206} \equiv 0 \left( 17 \left)\)
Como 17 es Primo, puedo aplicar Fermat:
$${a}^{17} \equiv {a} \left( {17} \left)$$
Realizando las operaciones debidas obtendremos que:
$${a}^{14} \equiv 0 \left( {17} \left)$$
*¿Aca deberia aplicar algo mas?, pq hacer una tablita para estos valores es imposible...*
• Supongamos que \({a}^{206} - 51 \equiv 0 \left( 5 \left) \Rightarrow {a}^{206} \equiv 1 \left( 5 \left) \Rightarrow\)
Como 5 es Primo, puedo aplicar Fermat:
$${a}^{5} \equiv {a} \left( {5} \left)$$
Realizando las operaciones debidas obtendremos que:
$${a}^{2} \equiv 1 \left( {5} \left)$$
Realizando la tablita correspondiente, notaremos que:
\({a} \equiv 1 \left( {5} \left)\) , \({a} \equiv 4 \left( {5} \left)\)
Pero... Desde un inicio, conocemos que nuestra suposicion es falsa, pues si fuese verdadera, el MCD que conocemos no seria 17, Entonces:
\({a} \neq 1 \left( {5} \left)\) , \({a} \neq 4 \left( {5} \left)\)
• Supongamos que \({a}^{206} - 51 \equiv 0 \left( 2 \left) \Rightarrow {a}^{206} \equiv 1 \left( 2 \left)\)
Como 2 es Primo, puedo aplicar Fermat:
$${a}^{2} \equiv {a} \left( {2} \left)$$
Realizando las operaciones debidas obtendremos que:
$${a} \equiv 1 \left( {2} \left)$$
Pero... Desde un inicio, conocemos que nuestra suposicion es falsa, pues si fuese verdadera, el MCD que conocemos no seria 17, Entonces:
$${a} \neq 1 \left( {2} \left) \Rightarrow {a} \equiv 0 \left( {2} \left)$$
Bien, ahora trabajemos con \(\left( {a}^{27} - 136 : {2}^{4} . 5 . {17}^{2} \left)\).
• Supongamos \({a}^{27} - 136 \equiv 0 \left( 17 \left) \Rightarrow {a}^{27} \equiv 0 \left( 17 \left)\)
Como 17 es Primo, puedo aplicar Fermat...
$${a}^{17} \equiv {a} \left( 17 \left)$$
Realizando las operaciones debidas obtendremos que:
\({a}^{11} \equiv 0 \left( 17 \left) \Rightarrow {a} \equiv 0 \left( 17 \right)\) (Ya que si 17|a^n es claro que 17|a pues 17 es primo!)
• Supongamos \({a}^{27} - 136 \equiv 0 \left( 5 \left) \Rightarrow {a}^{27} \equiv 1 \left( 5 \left)\)
Como 5 es Primo, puedo aplicar Fermat...
$${a}^{5} \equiv {a} \left( 5 \left)$$
Realizando las operaciones debidas obtendremos que:
$${a}^{3} \equiv 1 \left( 5 \left)$$
Utilizaremos el metodo de la tablita para obtener que:
$${a} \equiv 1 \left( 5 \left)$$
Lo cual es FALSO, pues arriba demostramos que no es asi!
Por lo tanto, 5 no estara en la factorizacion del MCD buscado.
• Supongamos \({a}^{27} - 136 \equiv 0 \left( 2 \left) \Rightarrow {a}^{27} \equiv 0 \left( 2 \left)\)
Como 2 es Primo, puedo aplicar Fermat...
$${a}^{2} \equiv {a} \left( 2 \left)$$
Realizando las operaciones debidas obtendremos que:
$${a}^{2} \equiv 0 \left( 2 \left)$$
Utilizaremos el metodo de la tablita para obtener que:
$${a} \equiv 0 \left( 2 \left)$$
Notemos que no contradice con lo propuesto anteriormente, ahora sabemos que 2 esta en la factorizacion de nuestro MCD...
Pero ahora vamos un poco mas alla y diremos que:
\(2 | {a} \Rightarrow {2}^{3} | {a}^{3} \Rightarrow {2}^{3} | {a}^27\) y como \(136 = {2}^{3} . 17\) Entonces \({2}^{3} | 136\). Por lo tanto \({2}^{3} | {a}^{27} - 136\). Ademas es claro que \({2}^{3} | {2}^{4} . 5 . 17\).
Entonces \({2}^{3}\) estara en la factorizacion de nuestro MCD...
Notemos que \({2}^{4}\) no funcionara, pues \({2}^{4}\) no divide a 136.
*Respuesta: \({2}^{3} . 17\)
Gracias por ayudarme a completar lo de 17! =)
*
Ejercicio 3:
Soluciones propuestas en:
Segundo parcial 05/07/08 polinomio
Ejercicio 4: INCOMPLETO
Sea \({w} = {z}^{6}\) Entonces:
$${G} \left( {w} \left) = -{w}^{2} + {i} . {w} + 1$$
Buscamos las raices del Polinomio como una cuadratica normal y obtenemos:
\({w}_{1} = \frac{i + \sqrt[2]{3}}{2}\) y \({w}_{2} = \frac{i - \sqrt[2]{3}}{2}\)
Como habiamos reemplazado \({w} = {z}^{6}\), ahora volvemos y decimos que:
Dos complejos son iguales cuando sus modulos lo son y cuando sus argumentos difieren en \(2.{k}.\pi\) con \({k} \in \mathbb{Z}\).
$$|{z}^{6}| = |\frac{i + \sqrt[2]{3}}{2}| = |\frac{i - \sqrt[2]{3}}{2}| \Rightarrow {|z|}^{6} = \sqrt[2]{{ \left( \frac{1}{2} \left)}^{2} + \left({\frac{\sqrt[2]{3}}{2}}\left)^{2}}} \Rightarrow {|z|}^{6} = 1$$
$$Arg \left( {z}^{6} \left) = Arg \left( {w}_{1} \left) + 2.{k}.\pi \Rightarrow 6 . Arg \left( {z} \left) = \frac{\pi}{6} + 2.{k}.\pi \Rightarrow Arg \left( {z} \left) = \frac{\frac{\pi}{6} + 2.{k}.\pi}{6}$$
$${Z}_{k} = 1 . CIS \left( \frac{\frac{\pi}{6} + 2.{k}.\pi}{6} \right) con [tex]0 \leq {k} \leq 5$$
Reemplazo y obtengo los primeros 6 resultados...
Luego intento realizar el mismo procedimiento para \({w}_{2}\)...
Es facil ver que el modulo tambien es 1.
¿El argumento cual seria para \({w}_{2}\)?
Ejercicio 5: INCOMPLETO
Nota: \(CIS \left( \pi \left) = \cos \pi + {i} . \sen \pi\)
(A)
$${w} = CIS \left( \frac{2 . \pi}{150} \left)$$
QVQ' Existe \({x} \in {G}_{30}\) , \({y} \in {G}_{50}\) tal que \({x}.{y} = {w}\)
$${G}_{30} = \lbrace {x} \in \mathbb{C} : {x}^{30} = 1 \rbrace = \lbrace {x}_{k} = CIS \left( \frac{2.{k}.\pi}{30} \left) , 0 \leq k \leq 29 \rbrace$$
$${G}_{50} = \lbrace {x} \in \mathbb{C} : {x}^{50} = 1 \rbrace = \lbrace {x}_{k} = CIS \left( \frac{2.{k}.\pi}{50} \left) , 0 \leq k \leq 49 \rbrace$$
Como 30|150 y 50|150 Entonces \({G}_{30} \in {G}_{150}\) y \({G}_{50} \in {G}_{150}\)
QVQ' Existen \(0 \leq {k} \leq 29 , 0 \leq {t} \leq 49\) TQ' \({x}_{k}.{y}_{t} = w\)
$$CIS \left( \frac{2. \pi . k}{30} \left) . CIS \left( \frac{2. \pi . t}{50} \left) = CIS \left( \frac{2. \pi . k}{150} \left) \Rightarrow CIS \left( \frac{100. \pi . {k} + 60 . \pi . {t}}{30} \left) = CIS \left( \frac{2. \pi}{150} \left)$$
Por lo tanto, deberia poder obtener que \(100.{k} + 60.{t} = 2\).... Pero no lo obtengo... ¿Cual es el error aqui?
(B)
\(\lbrace \left( {x},{y} \right) : {x} \in {G}_{6}\) , \({y} \in {G}_{8}\) , \({x}.{y} = 1 \rbrace\)
$${X}_{k} = CIS \left( \frac{2.k.\pi}{6} \right)$$
$${Y}_{t} = CIS \left( \frac{2.t.\pi}{8} \right)$$
$${X}.{Y} = CIS \left( \frac{2.t.\pi}{8} + \frac{2.k.\pi}{6} \right) \Rightarrow {Z} = CIS \left( \frac{{k} + 2.{t}}{3}.\pi \right)$$
Realizando un grafico de G6 y G8 veremos que la ecuacion se cumplira cuando:
\(\left( \frac{{k} + 2.{t}}{3} \right) = 1\) o \(\left( \frac{{k} + 2.{t}}{3} \right) = 0\)
$$\Rightarrow$$
\({k} + 2.{t} = 3 \Rightarrow {k}=1,{t}=1 ... {k}=3,{t}=0\) o \({k} + 2.{t} \right) = 0 \Rightarrow {k}=0,{t}=0\)
Entonces la cantidad de soluciones es 3.
Saludos!!
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