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Hola, aca dejo el enunciado del ejercicio del parcial el polinomio, que me acuerdo de memoria ya que estuve casi dos horas con ese ejercicio, y que después del parcial no tuve ganas de seguir intentando...
\(P(x)=x^4-x^3-6x^2+20x-6\) tiene una raíz compleja no real de modulo 2
La única duda es si el ultimo termino era 6 o -6
Yo lo tengo anotado el de mi tema y era: \(x^4+x^3-6x^2-20x-16\)
"If debugging is the process of removing bugs, then programming must be the process of putting them in." -- Dijkstra
No era ni 6 ni -6, era -16.
Quimey
Estas son las raices al polinomio q nos dejo carla:
XDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD
A mi me dieron \(-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{7}}{2}i,\;-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{7}}{2}i,\;1+\sqrt{5},\;1-\sqrt{5}\). Creo que eran estas cuatro(igual en el parcial cometí un error y obtuve otras dos, en vez de estas dos últimas...)
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
sisis, esas ultimas son del polinomi que termina con -16.. pero las de Cloud ahi son con +/-6
la verdad este me volvio loco, y estuve mas de una hora viendo como hacerlo. lo que pense, que seguramente era pero no me dio, era dividir el polinomio de grado 4 en la multiplicacion de 2 de grado 2, y saber que de uno de esos dos, las raices eran las imaginaras cuyo modulo era =2. pero no llegue a nada, y me trabe. si alguien postea mas o menos como lo hizo se lo agradeceria muuucho.
Buen, para resolver este ejercicio, por ahora ya junte 3 modos de accion medio parecidos pero involucran MUCHAS cuentas:
Primero que nada, como tiene una raiz compleja y coeficientes reales, existe una raiz q va a ser el conjugado, algo tipo:
\((x - z) ( x - \overline{z}) = x^2 - 2rx + 4 = q(x)\) ( "r" es la parte real del z)
Una forma es la que propuso Diego ahi arriba, como sabemos que q(x) divide al polinomio, lo podemos escribir como \(F(x) = q(x) \cdot p(x)\) entonces lo que hay que hacer es dividir, y nos fijamos el cociente y eso lo factorizamos lindo para que nos de las dos raices reales... un lio tremendo..
[/*:m]
Otra forma, es parecido, solo que nos fijamos el resto que nos dio la division, y tiene q ser = 0.. es casi el mismo lio o peor..
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Una tercer forma , consiste en escribir la forma generica del polinomio factorizado \((x - z) ( x - \overline{z}) (x -c ) (x -d)\), lo distribuimos todo, e igualamos los coeficientes de esa cosa con los del polinomio original.. lo mismo, lleva muchisimo tiempo..
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No es lindo, no es rapido, pero son 3 formas de resolverlo..
Me gustaria mucho saber si existe un metodo mas lindo para solucionar el problema..
No es necesario hacer la cuenta; \({a}_{n-i}\eq={(-1)}^{i}\sum_{I\subset \{1,...,n\},\;|I|\eq=i} \prod_{j\in I} {\alpha}_{j}\), con \(\alpha\) denotando raíz del polinomio. En palabras; el término n-i-ésimo es la suma de todos los productos posibles de las raíces agrupados de a i, con el signo de \({(-1)}^{i}\). Es decir, en el caso del ejercicio, el término \({a}_{2}\eq={a}_{4-2}\eq={(-1)}^{2}({\alpha}_{1}{\alpha}_{2}+{\alpha}_{1}{\alpha}_{3}+...)\). Creo que se entiende la idea. Es decir, esto es un lema, no es necesario hacer la cuenta en el parcial
exequiel131719 escribió:
No es necesario hacer la cuenta; \({a}_{n-i}\eq={(-1)}^{i}\sum_{I\subset \{1,...,n\},\;|I|\eq=i} \prod_{j\in I} {\alpha}_{j}\), con \(\alpha\) denotando raíz del polinomio. En palabras; el término n-i-ésimo es la suma de todos los productos posibles de las raíces agrupados de a i, con el signo de \({(-1)}^{i}\). Es decir, en el caso del ejercicio, el término \({a}_{2}\eq={a}_{4-2}\eq={(-1)}^{2}({\alpha}_{1}{\alpha}_{2}+{\alpha}_{1}{\alpha}_{3}+...)\). Creo que se entiende la idea. Es decir, esto es un lema, no es necesario hacer la cuenta en el parcial
Buenas.
Disculpa pero no logre entender bien esta propiedad que describis que ayuda a resolver el ejercicio, ¿Podrias decribirla un poco mas o detallarme el nombre de la misma (para Googlearla)?
La busque en el apunte de Polinomios y en mi carpeta y no la encontre! Supongo que es la propiedad que especifica como calcular las raices en base a los coeficientes en polinomios de grado "n". Yo se (de memoria nomas...) como se calcula para polinomios de grado 2, 3 y 4 pero lo que mencionas no logre relacionarlo correctamente con ello.
Saludos!
OK, Lei, aplique y deje el sistema de ecuaciones para resolver: (no lo resuelvo pq es largo largo)
Sea la ecuacion: \({F} \left( {x} \right) = {m}_{0} . {x}^{4} + {m}_{1} . {x}^{3} + {m}_{2} . {x}^{2} + {m}_{3} . {x} + {m}_{4}\)
En esta ecuacion seria: \({m}_{0} = 1\) , \({m}_{1} = 1\) , \({m}_{2} = -6\) , \({m}_{3} = -20\) , \({m}_{4} = -16\).
Llamamos a las raices del polinomio: \({a}\), \({b}\), \({c}\) y \({d}\),
Por ser un polinomio de grado 4, obtendremos un sistema de 4 ecuaciones con 4 incognitas si aplicamos lo dicho anteriormente. Un sistema del cual no es simple despejar sus variables:
Despejarlas es tedioso, pero obviamente se va a poder.
Saludos!
BiFo escribió:
**3) ** Sea \(f(x)= {x}^{4} + {x}^{3} - 6.{x}^{2} - 20.{x} - 16\). Se sabe que \(f(x)\) tiene una raiz compleja no real de modulo 2. Factorizar \(f(x)\) en \(\mathbb{Q} \left( {x} \left)\), \(\mathbb{R} \left( {x} \left)\), \(\mathbb{C} \left( {x} \left)\).
Como \(f(x)\in\mathbb{R}\[X\]\) tiene una raiz compleja \(z\) no real, entoces \(\overline{z}\) también es raíz. El producto \(z.\overline{z}=|z|^2=4\), es el término independiente de la cuadrática que tiene como raices a \(z\) y \(\overline{z}\). Luego \(x^2+Ax+4\) divide a \(f(x)\). El producto de las cuatro raices es \(-16\), entonces el producto de las otras dos, es \(-4\), y la cuadratica \(x^2+Bx-4\) se anula en las otras dos raices. Luego \(f(x)=(x^2+Ax+4)(x^2+Bx-4)=x^4+(A+B)x^3+ABx^2+4(B-A)x-16\).
Entonces \(A+B=1\) y \(B-A=-5\), de donde \(A=3\) y \(B=-2\). Luego \(f(x)=(x^2+3x+4)(x^2-2x-4)\) en \(\mathbb{Q}\[X\]\) y \(\mathbb{R}\[X\]\),
y \(f(x)=(x-1+\sqrt{5})(x-1-\sqrt{5})(x-\tfrac{-3-\sqrt{7}i}{2})(x-\tfrac{-3+\sqrt{7}i}{2})\) en \(\mathbb{C}\[X\]\).
Roprgm escribió:
BiFo escribió:
**3) ** Sea \(f(x)= {x}^{4} + {x}^{3} - 6.{x}^{2} - 20.{x} - 16\). Se sabe que \(f(x)\) tiene una raiz compleja no real de modulo 2. Factorizar \(f(x)\) en \(\mathbb{Q} \left( {x} \left)\), \(\mathbb{R} \left( {x} \left)\), \(\mathbb{C} \left( {x} \left)\).
Como \(f(x)\in\mathbb{R}[X]\\) tiene una raiz compleja \(z\) no real, entoces \(\overline{z}\) también es raíz. El producto \(z.\overline{z}=|z|^2=4\), es el término independiente de la cuadrática que tiene como raices a \(z\) y \(\overline{z}\). Luego \(x^2+Ax+4\) divide a \(f(x)\). El producto de las cuatro raices es \(-16\), entonces el producto de las otras dos, es \(-4\), y la cuadratica \(x^2+Bx-4\) se anula en las otras dos raices. Luego \(f(x)=(x^2+Ax+4)(x^2+Bx-4)=x^4+(A+B)x^3+ABx^2+4(B-A)x-16\).
Entonces \(A+B=1\) y \(B-A=-5\), de donde \(A=3\) y \(B=-2\). Luego \(f(x)=(x^2+3x+4)(x^2-2x-4)\) en \(\mathbb{Q}[X]\\) y \(\mathbb{R}[X]\\),
y \(f(x)=(x-1+\sqrt{5})(x-1-\sqrt{5})(x-\tfrac{-3-\sqrt{7}i}{2})(x-\tfrac{-3+\sqrt{7}i}{2})\) en \(\mathbb{C}[X]\\).