Otro más; este fue propuesto en unas notas por el profesor Carlos Sanchez, creo. Me parece un ejercicio importante, que combina algunas nociones conceptuales de enteros y polinomios:
Demostrar que no existe \(f\in \mathbb{Z}[X],\) el grado de f mayor o igual que 1, tal que \(f(a)\) es primo para todo número entero a
Notemos que debe valer para todo entero a. Luego, \(f\eq=\sum_{k\eq=0}^{n}{b}_{k}{x}^{k}\) será el polinomio que pensaremos que satisface la condición impuesta por el problema. En particular, 0 es un entero, luego \(f(0)\eq={b}_{0}\). Puesto que por hipótesis debe ser todo valor primo, se concluye que \({b}_{0}\) debe ser primo. Sea, luego, \({b}_{0}\eq=p\) tal primo. Ahora, especialicemos f en p:
Luego, notemos que por hipótesis, f(p) debe ser primo. Luego, para que esto quede satisfecho, debo exigir:
A) \(\sum_{k\eq=1}^{n}{b}_{k}{p}^{k-1}+1\eq=0\)
Si este fuera el caso, f(P)=0, lo que es absurdo, por hipótesis(el 0 no es primo)
B) \(\sum_{k\eq=1}^{n}{b}_{k}{p}^{k-1}\eq=0\)
Si este fuera el caso, f(p)=p, que es primo, por hipótesis. Pero podemos ver inmediatamente que exigir esto llevará a una importante contradicción. En efecto, f tiene grado n, n mayor o igual que 1. Hemos determinado que f(0)=f(p). Sea \(a\eq={p}^{q}\), con q natural, ahora mayor que uno. Notemos que a es entero positivo. Si calculamos el nuevo f(a):
Bajo lo que ya pedí, ahora estoy en obligación, para hacer f(a) primo, pedir \(\sum_{k\eq=1}^{n}{b}_{k}{p}^{(k-1)q}\eq=0\), lo que lleva a pedir \(f(a)\eq=p\), para todos los posibles valores de q. Pero, en particular, f(0)=f(p). Si tomo n-1 valores de los ''q'' que determinan \(a\eq={p}^{q}\), resulta que tengo un polinomio que cumple: \(f(0)\eq=f(p)\eq=f({a}_{1})\eq=...\eq=f({a}_{n-1})\eq=p\), con \({a}_{i}\eq={p}^{1+i}\). El teorema de interpolación asegura que hay un único polinomio de grado menor o igual que n (o el polinomio 0) que satisface que pasa por n+1 puntos. Como \(f\eq=p\) satisface el teorema, y este dice que es único, resulta que el polinomio que busco es \(f\eq=p\). Pero en este caso, el grado de f es 0, lo que es una contradicción, por hipótesis. Se concluye que no existe un tal f que satisfaga las condiciones del problema.
Espero que les ayude esta contribución, nuevamente.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities