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[Resuelto] Ejercicio de 2º parcial, 2005

2 respuestas 4414 visitas 2008-07-04

#1 exequiel131719 2008-07-04 04:09

Sea \(f\in \mathbb{C}[X],\;f\eq={X}^{6}-3{X}^{4}-(2+3i){X}^{3}+9iX+6i\). Hallar todas las raíces complejas de f, sabiendo que hay al menos una solución real.
Bueno, puse este ejercicio porque me pareció ''ligeramente'' distinto a otros, por el hecho de que aparecen coeficientes complejos. Sin embargo, este polinomio está construído de manera muy especial. En efecto, recordemos la sugerencia... ''hay al menos una solución'' real. Esto quiere decir que tratemos de juntar la ''parte real del polinomio'' por un lado, y la ''parte imaginaria'', por otro. Distribuyendo y agrupando:

f\eq={X}^{6}-3{X}^{4}-2{X}^{3}-3i{X}^{3}+9iX+6i\eq=({X}^{6}-3{X}^{4}-2{X}^{3})-3({X}^{3}-3X-2)i\eq=

\eq={X}^{3}({X}^{3}-3X-2)-3({X}^{3}-3X-2)i

Ahora, notemos por qué estaba construído especialmente el polinomio. Luego, el determinar las tres raíces de \({X}^{3}-3X-2\) determina tres raíces del bonito polinomio f. A ojo(o recurriendo al Lema de Gauss), se ve que -1 es raíz del polinomio, y también 2. Si se hacen las correspondientes cuentas, obtienen \({X}^{3}-3X-2\eq={(X+1)}^{2}(X-2)\). Por lo explicado anteriormente, estas raíces son raíces de f(pues anulan simultáneamente la ''parte real'' e ''imaginaria''). Si se efectúan las correspondientes divisiones sobre f(\(\mathbb{C}\) es un cuerpo, con lo que el algoritmo de la división es el mismo), se llega a

f\eq={(X+1)}^{2}(X-2)({X}^{3}-3i)

Basta determinar las raíces de \({X}^{3}-3i\), las cuales salen:

{z}^{3}\eq=3i

|z|\eq={3}^{\frac{1}{3}}

3\arg{z}\eq=\frac{\pi}{2}+2\pi k

\arg{z}\eq=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi k}{3},\;0\leq k\leq2

Así, quedan determinadas las últimas raíces de f, como queríamos. Espero haber aclarado, y no complicado. Saludos.

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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities

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#2 domingo 2008-07-04 13:16

Perdón, pero puede ser que esté mal copiado?

f\in%20\mathbb{C}[X],\;f\eq={X}^{6}-3{X}^{4}-(2-3i){X}^{3}+9iX+6i

Desarrollado me da

f\eq={X}^6-3{X}^4-2{X}^3+3i{X}^3+9iX+6i\eq={X}^3({X}^3-3X-2)+3({X}^3+3X+2)i

Cambia el coeficiente imaginario de grado 3 con respecto a lo que hiciste vos, y por Gauss no me salen raíces comunes a la parte real y la parte imaginaria.

Si el coeficiente cúbico fuese \(-(2+3i)\) ahí si te puedo seguir y me da lo mismo, pero si es como lo copiaste no tengo idea cómo hacerlo, o bien estoy muy quemado y estoy poniendo mal un signo jaja.

Gracias.

#3 exequiel131719 2008-07-04 17:20

Me equivoqué yo al tipear. No te hagás problema, el desarrollo sigue igual, pero copié mal. Gracias por avisar; ya lo reedité y queda igual. Evidentemente a la hora que lo posteé no estaba muy despierto.
Gracias y saludos.