$$\textrm{Factorizar en $\mathbb{Q}[X], \mathbb{R}[X]$ y $\mathbb{C}[X]$ el polinomio }$$
$$4X^6+8X^5-3X^4-19X^3-26X^2-15X-3$$
$$\textrm{sabiendo que una de sus raices es de la forma $\sqrt{p}$ donde $p\in \mathbb{N}$ es primo}$$
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[Resuelto] 8/7/06 - Ej 6 - 2do P
Si \(\sqrt{p}\) es raíz del poliniomio, entonces \(- \sqrt p\) también, porque si no no te quedaría un polinomo en \(\mathbb Z\). Así que algún poliniomio de la pinta \(X^2 - p\) divide a tu bello polinomio. Como \(p \mid 3\), adiviná quién es p...
Dividiendo, te queda \((X^2 - p)(4X^4 + 8X^3+9X^2+5X+1)\)
El resto es Gauss...
no me kedo claro de donde sacas q p|3...
el resto lo entendi..
podrias explicar eso?
gracias! 😄
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Sí, no queda claro como llegó a que p|3, pero puede salir por otro lado. Como f esta en Q[X], y te dicen que \(\sqrt{p}\) es raiz, como bien te dijeron, \(-\sqrt{p}\) también lo es. Y como son raíces, podes hacer \(f(-\sqrt{p})=f(\sqrt{p})\) y te queda un polinomio de grado 2 en p. Le aplicás la formulita resolvente, y llegas a dos valores para p. Uno de ellos es 3, que efectivamente es un natural y cuya raiz cuadrada es raiz de f. El otro valor no es natural asi que lo descartás. Después seguis factorizando.
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God´s in his Heaven. All´s right with the world.
perfect! ahora lo veo bien..
muchas gracias
tambien se puede decir q como (x-raiz p) . (x+raiz p) divide al polinomio => ((x^2)-p) lo divide,hago la división a mano y me quedan 2 cuadráticas q me tiran como unico resultado natural al 3 😛
yo intenté hacerlo igualando y me queda 34 raiz p - 38 p. raiz p -15p=0 y de ahi no tengo idea como despejar p jeje
fijense
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Pape Trataremos de buscarle una solución más útil que el famoso "reinicie el equipo y vea si mejora"