Polinomio

Sea \(F\in{C}\) un polinomio que satisface \(F(2)=1\) \(F^{\prime} (2)=2\) \(F(3)=3\)
Hallar el resto de la división de \(F\) por \(x^3-7x^2+16x-12\)

Desde ya, gracias
Saludos!

Planteas \(F(x)=q(x) p(x) +r(x)\) donde \(r(x)\) es el resto en la division de \(F\) por \(p\) (este es el polinomio que te dan). Esto dice que \(gr(r) \leq 2\). Evaluando en 2 y en 3 obtenemos que \(F(2)=r(2) \ F(3)=r(3)\) pues \(p(2)=p(3)=0\). Ademas podes derivar la igualdad y te queda \(F'(x)=q'(x) p(x) + q(x) p'(x) + r'(x)\). Ahora evaluas de nuevo en 2 y te queda \(r'(2)=F'(2)\). Con estos datos ya podes sacar \(r(x)\). Por ejemplo planteando \(r(x)=a x^2 + b x + c\), y usando todos los datos te queda un sistema con 3 ecuaciones y 3 incognitas.

Gracias por la ayuda!