Hallar F

Hola, necesito ayuda con este problema...

Hallar todos los \(F\in{C}\) tales que \((x-1)F^2+2x=x^3+xF-1\)

Bueno algo hice pero no llego a encontrar ningún f en particular, mis soluciones son generales..

Saludos!

Tenés dos cursos de acción:
Camino A: primero, igualás grados:

Estudiemos el primer término; ¿puede ser el grado 0? Claramente si F tiene \(n\eq=gr(F)\geq 1,\;gr((X-1){F}^{2})\eq=gr((X-1))+2gr(F)\eq=1+2n\eq=2n+1\). Y este número natural es siempre mayor que 1, el grado de 2X. Luego, \(gr((X-1){F}^{2}+2X)\eq=2n+1\). Por otro lado, si f es una constante o el cero, es fácil observar que \(gr((X-1){F}^{2}+2X)\eq=1\) Las condiciones las impondrá el otro término; en efecto, \(gr({X}^{3}+XF-1)\), si F tiene \(gr(F)\geq3\), cuando calculo XF tengo grado mayor o igual a 4, y como es el mayor grado, \(gr({X}^{3}+XF-1)\eq=gr(XF)\eq=n+1\), n el grado del polinomio. Si \(gr(F)\leq1\), o es 0=F, sucede lo opuesto; el que tiene mayor grado es \({X}^{3}\). Luego: \(gr({X}^{3}+XF-1)\eq=3\). Finalmente, si el grado es 2, pueden suceder dos cosas; que el coeficiente de grado dos sea -1, o no; en el último caso, nuevamente obtengo que el grado es 3. Pero en el primero, observá que los términos cúbicos se anulan, dependiendo de los términos que tenía F. Vamos a estudiar, luego, este caso por separado. Entonces... tenemos las situaciones(notá que fue el segundo término quien impuso condiciones): -\(gr(F)\geq3\). Queda igualado: \(2n+1\eq=n+1\Leftrightarrow n\eq=0\), lo cual es absurdo, porque debería ser el grado del polinomio 0. -\(gr(F)\leq1\). Queda igualado(n puede ser 0): \(2n+1\eq=3\Leftrightarrow n\eq=1\). Luego, un polinomio de grado 1 puede ser solución. -\(gr(F)\eq=2\). Notá que el primer término es \(2n+1\eq=5\), y no hay manera que quede igualado el otro término(verificalo) Ahora sabemos que debe ser de grado 1 F. Es decir, \(F\eq=aX+b\). Reemplazo: Ahora, lo único que hay que hacer es igualar coeficiente a coeficiente. Te dejo esa parte a vos, a su puedo mostrar otra manera de resolverlo(fijate que solo tenés que probar con todas las combinaciones de |a|=1,|b|=1) **Camino B:** Miramos fijamente la expresión: Despejamos: Si seguís mirando fijo lo que quedó, podés ''visualizar'' un polinomio de segundo grado cuyos coeficientes son polinomios. Aún más, si pensás que los polinomios son un tipo de funciones continuas, podés pensar en \(\mathbb{K}[X]\), como el cuerpo de funciones continuas(hay que tener más cuidado con como lo definís, pero bueno, no es muy difícil de probar que es un cuerpo, o lo podés hacer cuerpo, porque podés usar las propiedades de análisis 1 para probar todo). Luego, la ecuación anterior es una cuadrática cuyas soluciones son funciones continuas, y particularmente, pueden llegar a ser polinomios. Luego, la expresión de la ecuación de segundo grado:

Si calculás \({X}^{2}-4(X-1)(-{X}^{3}+2X+1)\eq=4{X}^{4}-4{X}^{3}-7{X}^{2}+4X+4\). Si lográs probar que no es el cuadrado de ningún polinomio(es decir, o tiene una raíz de multiplicidad 4 o dos raíces de multiplicidad 2), entonces su raíz cuadrada no es un polinomio, por lo tanto no tiene solución la ecuación. Fijate que método de acción te resulta mejor(en este último, tendría que haber definido mejor el cuerpo de funciones continuas, para que se entienda que es la raíz cuadrada de una función. En el caso de un polinomio, la raíz de un polinomio es otro polinomio si este tiene en su factorización todas sus factores primos (complejos) con exponente par, al igual que sucedía con los números enteros). Además, fijate que no solo debe existir la raíz cuadrada, sino que también debe ser divisible por X-1; igual que pasaba para que una ecuación cuadrática tenga soluciones enteras.
Espero que te haya sido de ayuda las dos posibles resoluciones. Si no quedó claro algo, avisame(y si me equivoqué en una cuenta o algo, también).

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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities

exequiel y Carla.
Una vez que viste que el polinomio es de grado 1, el problema se simplifica bastante. Por ejemplo, evaluando la expresión que tenés en 1, te queda que \(2 = F(1)\), y evaluando en 0 tenés que \(-F^2(0) = -1\), luego \(F(0) = +/- 1\). Entonces tenés que \(F = 3X - 1\) o \(F(X) = X + 1\).

Lamentablemente, las funciones continuas sobre los reales no forman un cuerpo (!). Fijate que por ejemplo la función identidad no tiene inverso multiplicativo (¿cuánto valdría en 0?). Sin embargo, hay un proceso a través del cuál podés formalizar tu razonamiento. Lo que pasa es que tenés que pensar que los polinomios no solamente son funciones, sino además "expresiones formales". Es medio largo de explicar, pero por ejemplo, si bien está "prohibido" considerar la función \(f(x) = \frac{1}{1-X^2}\), porque no está definida en 1, por ejemplo, sí podés hablar de la "expresión polinomial". Algo de eso se ve al final de álgebra 1. Lo llamamos el cuerpo de fracciones polinomiales, y lo que hacés es una cuenta formal (formal en el sentido de que simplemente apelás a las reglas tipo suma, multiplicación y etc. definidas para polinomios, sin pensarlos como funciones ni nada). Eso resuleve tu problema, efectivamente, y es una técnica muy importante en geometría, que se llama localización... resolver problemas "agregando inversos multiplicativos" donde no los había... es como magia, hasta que te das cuenta que no. Sobre tu resolución, haría un par de obs. La primera es que si justo esa raíz da un polinomio, entonces la expresión de arriba se anula en -1, y por lo tanto es divisible por \(X -1\). La segunda es que si no me equivoco, ese polinomio no es un cuadrado, y sin embargo el problema tiene solución.

Editado 1 vez.

Perdón, yo había observado ese problema y no sabía como arreglarlo. Gracias por la explicación.

Gracias por la ayuda, habia llegado a que tenia que ser de grado uno pero despues me trabe...
Gracias de nuevo
Saludos!

Yossarian, \(4{X}^{4}-4{X}^{3}-7{X}^{2}+4X+4\eq=4{({X}^{2}-\frac{1}{2}X-1)}^{2}\). Solo para probarlo, reemplazo en una de las soluciones:

\(\frac{X-2{X}^{2}+X+2}{2(X-1)}\eq=\frac{-2{X}^{2}+2X+2}{2(X-1)}\eq=\frac{-{X}^{2}+X+1}{X-1}\), y este cociente no es un polinomio(vale decir, no es divisible \(-{X}^{2}+X+1\) por \(X-1\)). Luego, no hay dos soluciones. Fijate, además, que el polinomio \(3X-1\) no puede ser solución, porque no puede ser igualado el coeficiente cúbico.

Tenés toda la razón... como siempre les digo a mis alumnos que NO hagan, di una lista de posibles asesinos, pero no me fije si alguno (o todos) eran culpables. Muy linda manera de resolverlo... ¿tienen ganas de leer algo más al respecto? Tengo un poco de material acumulado por acá.

Está muy bueno el tema; así que cualquier material es bienvenido