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[A resolver] Polinomio con raiz multiple(feo) =P

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Decime si este problema no es hermoso? ademas de jodido =)

Hallar todos los "a" complejos para los cuales el polinomio :

$$x^{150} - 5a x^{30} + 8a$$

tiene al menos una raíz multiple

Locooo, no te costaba nada poner UN solo tag de TeX ahi! La proxima, te pongo el nick en rosa y de imagen al cantante de Miranda!

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Pape Trataremos de buscarle una solución más útil que el famoso "reinicie el equipo y vea si mejora"

Ese comentario fue para mi, ¿no? (después de 80 de estos ejercicios...) pero creo que el término no es ''feo'', sino ''aburrido'' o ''no sorpresivo''. Mirá porque:
\({X}^{150}-5a{X}^{30}+8a\eq={f}_{a}\)
Notá que como quiero que tenga una raíz de multiplicidad, al menos; voy a trabajar con el polinomio derivado \(f'\), y estudiar sus raíces.

$${f'}_{a}\eq=150{X}^{149}-150a{X}^{29}$$
Estudio las raíces del polinomio:
$${f'}_{a}(x)\eq=150{x}^{29}({x}^{120}-a)\eq=0\Leftrightarrow {x}^{29}({x}{120}-a)\eq=0\Leftrightarrow x\eq=0\lor {x}^{120}\eq=a$$
Estas son todas las raíces que puede tener el polinomio derivado \(f'\), y como quiero que haya raíces con multiplicidad en f, tiene que ser al menos una raíz de f. Analicemos caso por caso: -raíz el 0 con multiplicidad. \({f}_{a}(0)\eq=0-5a0+8a\eq=0\Leftrightarrow a\eq=0\). En este caso el 0 es raíz con multiplicidad 150 -raíz las raíces 120-ésimas de a. Trabajo con tales x...
$${f}_{a}(x)\eq={x}^{150}-5a{x}^{30}+8a\eq=0$$
$${f}_{a}(x)\eq={x}^{120}{x}^{30}-5a{x}^{30}+8a\eq=0$$
$${f}_{a}(x)\eq=a{x}^{30}-5a{x}^{30}+8a\eq=0$$
$${f}_{a}(x)\eq=-4a{x}^{30}+8a\eq=0\Leftrightarrow -a{x}^{30}+2a\eq=0$$
\(a(-{x}^{30}+2)\eq=0\). Si a=0, ya sabemos que pasa. Luego, supongámolos distinto de 0. Queda: \(-{x}^{30}+2\eq=0\Leftrightarrow {x}^{30}\eq=2\). Con este dato, vuelvo para atrás: \({x}^{120}\eq={({x}^{30})}^{4}\eq={2}^{4}\eq=16\eq=a\). Y este es el otro valor de ''a'' posible. Concluímos que a=0 y a=16 son todos los valores que cumplen la hipótesis del problema. Espero que te haya servido. Igual verificá si no cometí error de cuentas en algún paso. Saludos
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities

Impecable como siempre, y ya sos ayudante de primera!! me estas alcanzando!!

Sisisi,sale,dps me mostró agustín lo estúpido q era...algo sospechaba yo,pero no sabia si mandarme a reemplazar por x^30 asi de una...

En fin,gracias por la ayuda y disculpen mi enemistad momentanea con el Tex...

Aguante miranda! (??????)

Disculpen si estoy infestando el foro de posts, pero quiero agradecer por el aporte, me sirvio bastante! 🙂
(rindo el 2º recu de alge en 7 hs! 😛 jajaj)

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$$\displaystyle\lim_{dom \to lun} = paja$$

http://hookdump.com

perdon por mi ignorancia pero no entiendo por que rendis el recup de algebra en 7hs...si hoy es sabado?? acaso estoy muy flasheada...el sol me insolo...o el teorema de la funcion inversa me afecto realmente 😮 ??

pd: que dia es hoy?? y que hora....mi compu dice las 3:50hs....¿ 😮 ?

nadia escribió:

perdon por mi ignorancia pero no entiendo por que rendis el recup de algebra en 7hs...si hoy es sabado?? acaso estoy muy flasheada...el sol me insolo...o el teorema de la funcion inversa me afecto realmente 😮 ??

pd: que dia es hoy?? y que hora....mi compu dice las 3:50hs....¿ 😮 ?

Nadia, hookdump escribió el comentario a la 1:16 AM del sábado. El recuperatorio fue a las 9 AM (yo lo rendí).

haaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa ya lo entendi....gracias ! entonces acabo de comprobar la teoria de que el sol me kemo la cabeza......bueno che...depaso...y como les fue no??

pd:estoy desvirtuando mucho... 😈

De los 6 ejercicios, pude hacer 4. Los de polinomios estaban bastante difíciles, en mi opinión, y llevaban bastante tiempo. Cuando tenga el parcial, seguro lo subo.

Che che che, momento que soy lento! Seguro no estoy viendo algo por estar sin dormir nada, pero....

-raíz el 0 con multiplicidad. \({f}_{a}(0)\eq=0-5a0+8a\eq=0\Leftrigtarrow a\eq=0\). En este caso el 0 es raíz con multiplicidad 150

Yo hubiese pensado que \({f}_{a}(0)\eq=0-5a0+8a\eq=8\Leftrigtarrow a\), y entonces \({x}=0\) NO es raíz múltiple.... O al menos, queda algo dependiendo de \({a}\)...
¿Por qué dijo eso de "el 0 es raíz con multiplicidad 150"? :S

Cuando lei este problema hace unos meses entendi todo, pero ahora lo estoy mirando y no me queda claro eso..

hookdump escribió:

Che che che, momento que soy lento! Seguro no estoy viendo algo por estar sin dormir nada, pero....

-raíz el 0 con multiplicidad. \({f}_{a}(0)\eq=0-5a0+8a\eq=0\Leftrigtarrow a\eq=0\). En este caso el 0 es raíz con multiplicidad 150

Yo hubiese pensado que \({f}_{a}(0)\eq=0-5a0+8a\eq=8\Leftrigtarrow a\), y entonces \({x}=0\) NO es raíz múltiple.... O al menos, queda algo dependiendo de \({a}\)...
¿Por qué dijo eso de "el 0 es raíz con multiplicidad 150"? :S

Cuando lei este problema hace unos meses entendi todo, pero ahora lo estoy mirando y no me queda claro eso..

Fijate el código de tex de esto: \({f}_{a}(0)\eq=0-5a0+8a\eq=0\Leftrigtarrow a\eq=0\) .
Tiene un error en el tipeo, en realidad debería leerse: \({f}_{a}(0)\eq=0-5a0+8a\eq=0\Leftrightarrow a\eq=0\) . Creo que es eso lo que te causó confusión, ahora lo arreglo.

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$$Que\; no\; es\; lo\; que\; queriamos\; demostrar... \hspace{3cm}\Box$$