[A resolver] Division polinomios

\(\text{Demostrar que el polinomio } x^{2n} - n x^2 + n -1\)\(\text{ es divisible por } x^3 + x^2 - x - 1\) \(\forall n \in \mathbb{N}\)

Mira que lindo que queda con tex

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Pape Trataremos de buscarle una solución más útil que el famoso "reinicie el equipo y vea si mejora"

Che, Daniel, ¿le tenés bronca al Tex? ¡Es tan solo un tag! Bueno... no importa...
\({X}^{2n}-n{X}^{2}+n-1\eq=f\). Hay muchas maneras de encarar el problema; notá que el polinomio \({X}^{3}+{X}^{2}-X-1\eq=g\) tiene raíces amistosas; en efecto, \({X}^{3}+{X}^{2}-X-1\eq={(X+1)}^{2}(X-1)\eq=g\)(es muy fácil de factorizar...). Luego, \(g|f\Leftrightarrow X-1|f \land {(X+1)}^{2}|f\).
-\(X-1|f\). Esto es muy fácil de probar; \(f(1)\eq=1-n+n-1\eq=0\). Luego es raíz 1 de f, y el teorema del resto asegura la divisibilidad buscada.
-\({(X+1)}^{2}|f\). Para que esto sea cierto, hay que ver que -1 es raíz de f y de f'(es de multiplicidad doble). Luego...

Luego, -1 es raíz de f' y de f. Luego, se concluye que \({(X+1)}^{2}|f\)(podría dividirlo una potencia más, en un principio, pero no importa; con esto alcanza). Luego, \({(X+1)}^{2}|f\land X-1|f\Rightarrow {X}^{3}+{X}^{2}-X-1|f,\;\forall n\in\mathbb{N}\), que era lo que queríamos probar(no use hipótesis sobre n). Espero haber ayudado. Fijate que probablemente podías encarlo de más maneras.

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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities

jajaja no le tengo bronca al tex solo que queria postear los ejercicios rapido,con el tex pierdo mucho mas tiempo y tiempo no me sobra ,disculpen =S

Yo lo hice viendo con congruencias...pero esa forma q usaste es mucho mas practica =)

de hecho para la raiz de multiplicidad 2 no se puede hacer por congruencias creo,o queda muy feo,habria q hacerlo por inducción,pero usando que es raiz de multi 2 sale al toque,

Gracias otra vez y a nico por el edit =P