Sean a,b,c \(\in\mathbb{C}\) las raíces de \(f=X^{3}+7X^{2}-2X+1\;\in\mathbb{Q}$[x]\)
Calcular
$$\displaystyle\frac{1}{a+b}\;+ \displaystyle\frac{1}{a+c}\;+ \displaystyle\frac{1}{b+c}\;$$
Tenemos que
$$abc\,=-1$$
$$a+b+c\,=-7$$
$$ab+ac+bc\,=-2$$
escribamos lo que nos dan un poco mejor, (puede parecer que se pone peor, pero veamos que pasa)
$$\displaystyle\frac{1}{a+b}\;+ \displaystyle\frac{1}{a+c}\;+ \displaystyle\frac{1}{b+c}\;$$
$$\displaystyle\frac{(a+c)(b+c)+(a+b)(b+c)+(a+b)(a+c)}{(a+b)(a+c)(b+c)}$$
$$\displaystyle\frac{ab+ac+cb+c^{2}+ab+ac+b^{2}+bc+a^{2}+ac+ba+bc}{a^{2}b+abc+b^{2}a+b^{2}c+a^{2}c+a^{2}c+abc+c^{2}b}$$
😮 Ordenemos un poco esto
$$\displaystyle\frac{a^{2}+2ab++b^{2}+2ac+2bc+c^{2}+ab+ac+bc}{a^{2}b+a^{2}c+b^{2}a+b^{2}c+c^{2}a+c^{2}b+abc+abc}$$
se ve mas lindo ahora?, lo que tenemos ahí es
$$\displaystyle\frac{(a+b+c)^{2}+(ab+ac+bc)}{(a+b+c)(ab+ac+bc)-abc}$$
Luego, solo nos queda reemplazar:
\(\displaystyle\frac{(-7)^{2}+(-2)}{(-7)(-2)-(-1)}\;=\displaystyle\frac{47}{15}\)
Espero no haber cometido errores, cualquier cosa avisen nomás. La idea de este ejercicio surge porque sinceramente yo no ví eso, una vez que uno lo tiene es bastante razonable, ya que tenés esos datos de entrada, y la idea sería que en algún lugar esté eso para poder enchufar los números ahí, pero bueno, a veces pasa. En fin, espero que sirva. Saludos.
Firma
$$Que\; no\; es\; lo\; que\; queriamos\; demostrar... \hspace{3cm}\Box$$