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Tema

[No Resuelto] 19/12/01 - Tema 1 - Ej. 4 - 2do R

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#1 daniel
$$\textrm{Determinar para que valores de $a,b \in \mathbb{Z}$ el polinomio}$$
$$2aX^3+9bX^2-60X-(250a+225b-300)$$
$$\textrm{admite a 5 como raiz multiple, y para esos valores factorizar el polinomio en $\mathbb{Q}[X]$.}$$

Llego a un punto que no sé qué hacer, ayuda!

Firma

"If debugging is the process of removing bugs, then programming must be the process of putting them in." -- Dijkstra

#2 Nico?

Respuesta rapida (sorry no tengo mucho tiempo)

\(2aX^3+9bX^2-60X-(250a+225b-300)\)

Agarras y lo derivas, porq te dice que 5 es raiz multiple

$$6aX^2+18bX-60$$

Reemplazas por x = 5

$$150a + 90 b -60 = 0$$

Te queda esa diofantica de soluciones \((a,b) = (-3\lambda +1, 5\lambda -1 )\)

Volves a tu polinomio original y si reemplasas por x = 5 te queda que es 0 sin importar el a,b que eligas, entonces sabes que tiene por lo menos 2 raices que son x = 5 y te falta una... Haces Ruffini con x = 5 dos veces (no lo Texeo ni a palos) y te va a quedar (si calcule bien)

$$2ax +20a +9b$$

Y reemplazas los a, b por \((-3\lambda +1, 5\lambda -1 )\) y te va a quedar algo feo de este estilo (por eso dudo de mis cuentas):

\(x = \frac{15\lambda -11}{-6\lambda +2}\) que no se anula nunca porq lambda es un entero y ese x siempre va a ser racional asi que ahi tenes tu otra raiz racional

Bueno, espero q te sirve =)

#3 Floreal Ruíz

Bueno, interesante problema, yo llegué a una respuesta pero no se si esta bien.
Yo también llegué a que \(2ax +20a +9b\) es polinomio que te queda después de dividir al polinomio original 2 veces por \(x-5\)
Entonces lo que hice fue multiplicar \((x-5)^2(2ax +20a +9b)\)
Y me quedó \(f(x)=2ax^3+9bx^2-x(90b+150a)+225b+500a\) entonces lo igualo al polinomio original \(f(x)=2aX^3+9bX^2-60X-(250a+225b-300)\)
Si igualo la x a potencia uno me queda que:

$$60=90b+150a$$
\(5a+3b=2\) que no me aporta mucho porque era la diofántica que quedaba antes. Y si igualo el término independiente me queda que
$$225+500a=-250a-225b+300$$
$$15a+5b=6$$
Lo bueno es que ahora tengo dos igualdades, asi que multiplico por 3 la primera y se la resto a la 2da
$$15a+9b-15a-5b=6-6$$
$$4b=0$$
$$b=0$$
Reemplazo b en cualquiera de las dos ecuaciones anteriores y queda \(a=\frac{2}{5}\) Seguimos reemplazando, esta vez reemplazamos \(a=\frac{2}{5}\) en el polinomio y tb reemplazamos \(b=0\) entonces veremos que nos queda \(f(x)=\frac{4}{5}x^3-60x+200\) podemos multiplicar por 5 asi no nos queda con fracciones \(f(x)=4x^3-300x+1000\) Si prueban 5 es raiz doble y la otra raiz es 10

Bueno, corriganme por favor si no me mandé alguna macana.

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Hoy esta muerto y con él, cuanta memoria se apaga...