dejo un ejercicio que no lo pude resolver...
6- Sean a, b, y c las raices complejas del polinomio (es la primera ves q posteo asiq entiendanmen...la proxima les escribo en el idioma q kieran!) x^3+2x+1 .hallar un polinomio en Q(x) de grado 3 cuyas raices sean a+b , a+c y b+c
Tema
sean a b c... fecha 10/12/01
Fijate que si \(f\eq={X}^{3}+2X+1\eq={X}^{3}+0{X}^{2}+2X+1\), se puede concluir, escribiendo \(f\eq=(X-a)(X-b)(X-c)\), y desarrollando el producto, que:
$$0\eq=-(a+b+c)$$
$$2\eq=ab+ac+bc$$
$$1\eq=-abc$$
Escribí ahohar el polinomio que buscás; tiene que tener la forma \(A(X-(a+b))(X-(a+c))(X-(b+c))\). Si lo ponés mónico por un momento, y desarrollás el producto, te queda un polinomio de la forma \({X}^{3}+r{X}^{2}+fX+g\), donde:
\(r\eq=-((a+b)+(a+c)+(b+c))\eq=-2(a+b+c)\). Pero \(0\eq=-(a+b+c)\). Reemplazando, concluís r=0
$$f\eq=(a+b)(a+c)+(a+b)(b+c)+(a+c)(b+c)\eq={a}^{2}+ac+ab+bc+ab+ac+{b}^{2}+bc+ab+ac+bc+{c}^{2}\eq=({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2})+3(ab+ac+bc)$$
Uno de los valores ya lo tenés, pero tenés que calcular \({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}\). Pero sabés que
\(0\eq=-(a+b+c)\Rightarrow 0\eq={(a+b+c)}^{2}\eq={a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}+2(ab+ac+bc)\). Recordando que \(2\eq=ab+bc+bc\), reemplazas en lo anterior:
\({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}\eq=-4\). Ahora, sustituyendo en el que dejamos atrás:
$$({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2})+3(ab+ac+bc)\eq=-4+3\cdot 2\eq=-4+6\eq=2\eq=f$$
Falta el último, que es:
$$g\eq=-(a+b)(a+c)(b+c)\eq=-({a}^{2}b+{a}^{2}c+{b}^{2}a+{b}^{2}c+{c}^{2}a+{c}^{2}b+2abc)\eq=-({a}^{2}b+{a}^{2}c+abc+{b}^{2}a+{b}^{2}c+abc+{c}^{2}a+{c}^{2}b+abc+2abc-3abc)\eq=$$
$$\eq=-(a(ab+ac+bc)+b(ab+ac+bc)+c(ab+bc+ac)-abc)\eq=-((a+b+c)(ab+ac+bc)-abc)$$
Recordando que \(1\eq=-abc\), y los otros valores que calculamos, reemplazás y queda:
$$g\eq=-1$$
Luego, el polinomio \(f\eq={X}^{3}+2X-1\) ya satisface las hipótesis del problema
Fijate si te convence la resolución; el problema era muy cuentoso (puede que me haya equivocado en alguna cuenta; verificalo) Saludos.
Firma
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
uuuy buenisimo!! esa era mi idea pero no sabia como desarro"y"arla muchas gracias!!!