Espero que sirva!
$$\textrm{Sea $f = x^{4}-6x^{3}+ax^{2}+bx+27.$ Encontrar $a$,$b$ de tal manera que la suma de dos de las raices de f sea 4 y el producto de las otras dos sea 3.}$$
\(\\\\\textrm{Les ponemos de nombre a las raices: $\alpha, \beta, \gamma, \delta$}.\)
$$\textrm{Nos dan como dato que $\alpha+\beta =4$ y que $\gamma\ast\delta = 3$}$$
$$\textrm{Por relacion entre raices y coeficientes sabemos que}\\\alpha+\beta+\gamma+\delta = 6\Rightarrow\gamma+\delta=2\\\alpha\ast\beta\ast\gamma\ast\delta = 27\Rightarrow\alpha\ast\beta=9$$
$$\textrm{Ahora escribo lo que se sobre los coeficientes de grado 1 y 2:}\\\alpha\beta\gamma+\alpha\beta\delta+\alpha\gamma\delta+\beta\delta\gamma = -b\\9\gamma+9\delta+3\alpha+3\beta = -b\\9\ast(\gamma+\delta)+3\ast(\alpha+\beta) = -b\\9\ast2+3\ast4 = -b\\b = -30$$
\(\textrm{Hago lo mismo para $a$}\\\alpha\beta+\alpha\gamma+\alpha\delta+\beta\gamma+\beta\delta+\gamma\delta = a\\\alpha\beta+\alpha\ast(\gamma+\delta)+\beta\ast(\gamma+\delta)+\gamma\delta = a\\\alpha\beta+(\gamma+\delta)\ast(\alpha+\beta)+\delta\gamma=a\\9+2\ast4+3 = a\\a = 20\\\\\textrm{Eso es todo!}\\\\\)