[a resolver]final 16/7/04 ej 5

Sean \(a\not=b \in\mathbb{C}\). Probar que el unico polinomio \(f \in\mathbb{C}[X]\) de grado menor o igual que 2 que satisface que \(f(a)=1,{f(derivado)}(a)=0 , f(b)=0\)(no encuntro en el teclado el guion para escribir el derivado) es el polinomio \(f=\frac{(x-b)(2a-b-x)}{(a-b)^2}\) y determinar todos los polinomios \(g\in\mathbb{C}[X]\) de grado menor o igual que 3 que satisfacen que \(g(0)=1, g(derivado)(0)=0, g(1)=0\).

Yo pensé esta resolución:
Observá que tenés como dato que \(f(a)\eq=1,\;f'(a)\eq=0\). La idea reside en estudiar el polinomio \(g\eq=f-1\), porque este polinomio satisface que \(g(a)\eq=f(a)-1\eq=0,\;g'(a)\eq=f'(a)\eq=0\). Luego concluís que a es raíz de multiplicidad doble de g. Luego, como g es de grado menor o igual que 2, resulta que \(g\eq=A{(X-a)}^{2},\;A\neq0\). Luego, usás la condición \(f(b)\eq=0\Rightarrow g(b)\eq=f(b)-1\eq=-1\). Luego, te queda:
\(g(b)\eq=c{(b-a)}^{2}\eq=A{(a-b)}^{2}\eq=-1\Leftrightarrow c\eq=-\frac{1}{{(a-b)}^{2}}\). Esto vale, porque a,b son distintos.
Luego, el polimonio \(g\eq=-\frac{{(X-a)}^{2}}{{(a-b)}^{2}}\eq=f-1\). Pasando el 1, te queda:
\(-\frac{{(X-a)}^{2}}{{(a-b)}^{2}}+1\eq=\frac{-{X}^{2}+2aX-{a}^{2}+{a}^{2}-2ab+{b}^{2}}{{(a-b)}^{2}}\eq=\frac{(X-b)(2a-b-X)}{{(a-b)}^{2}}\). Y es único, porque en el procedimiento obtuve valores puntuales para cada coeficiente(en realidad, una forma más prolija de justificarlo es como corolario del polinomio interpolador de Lagrange; existe un único polimonio de grado menor o igual que 2, o el polinomio 0, que pasa por 3 puntos distintos. Acá no te dan tres puntos distintos, pero la especialización en la derivada cuenta como otro dato más).
Con respecto a la otra parte del problema, se procede de manera análoga; estudiás el polinomio \(h\eq=g-1\). Con argumentos similares, vas a obtener al 0 con raíz de multiplicidad doble. Luego, vas a poder escribir a \(h\eq=c{X}^{2}(X-d)\). Cuando especializás en el 1, vas a obtener en h, -1. Luego:
\(-1\eq=c(1-d)\Leftrightarrow c\eq=\frac{1}{d-1}\). Tuve que considerar d distinto de 1, para que valga la igualdad. Luego, los polinomios de orden 3 que satisfacen las condiciones son:
\(\frac{{X}^{2}(X-d)}{d-1}+1\eq=f,\;d\neq1\).
Ahora, si buscás los polinomios de orden 2 o menor que satisfacen las condiciones, tenés que usar el resultado del ejercio de antes, y reemplazando a=0, b=1, obtenés \(f\eq=-(X-1)(X+1)\eq=1-{X}^{2}\) . Ahora sí tenés todos los polinomios que buscabas.
Espero haber ayudado. Saludos.

Muchas gracias!!!
Saludos