Bueno esta vez aporto un ejercicio resuelto de un final (con la ayuda de "Nico?")
El ejercicio es el siguiente:
Sean \(a, b \in \mathbb{Z}\) no nulos tales que \((a:b)=1\). Probar que:
\(f = {X}^{10} + 5{X}^{6} - 2{X}^{5} - 10{X}^{3} + 10bX + a\) no tiene ninguna raiz multiple en \(\mathbb{Q}\)
Si f no tiene raices en \(\mathbb{Q}\), entonces listo XD.
Ahora, si f tiene una raiz en \(\mathbb{Q}\), por criterio de Gauss, esta raiz r es algun divisor de \(a\) (positivo o negativo)
Además, si es múltiple, tiene que ser raiz del derivado de f.
Entonces tenemos
Entonces \(r|b\) y como \(r|a\), resulta que \(r|(a:b)\), entonces usando el dato, r puede ser 1 o -1.
Ahora, si r es 1, reemplazando en el despeje anterior nos queda que \(-b = 1(1+3-1-3) = 0\), pero b no era nulo (dato)
Y si r=-1, reemplazando queda \(b = 8\)
Y ahora como \(f(-1) = 0\) (porque era raiz), haciendo despejes, a resulta par, y entonces pero entonces el mcd no es 1. Absurdo también
Creo que el problema esta cuando dijiste que las posibles raices eran a o -a... lo que dice gauss es q si el polinomio tiene raices racionales, tienen q ser de la forma p/q, donde p divide al coeficiente independiente y q es entero positivo q divide al coeficiente principal... entonces las posibles raices racionales te quedarian +/- a , +/- 1 y +/-{divisores de a}
