[No resuelto] - 13/12/02 - 2

Este me causa problemas, puede que haya hecho mal las cuentas pero no sale por ningun metodo tradicional 😄
Hallar todos los \(a\) y \(b\) coprimos tales que el siguiente polinomio tenga al menos una raiz racional multiple

calcule el derivado y supuse que por el metodo gaussiano para encontrar raices racionales, como todos los coeficientes de \(f\) y \(f'\) son enteros, entonces \(a=\pm b\) o \(a=\pm \frac{b}{7}\) pero la verdad no se como seguir... tengo la cabeza quemada ya...

te digo masomenos cual me parece que es la idea.
sea \(\frac{p}{q}\) nuestra raiz racional multiple, por gauss sabes que \(p|a\)( tambien sabes que el coeficiente independiente divide a q, es decir \(1|q\) asique\(q=\pm1\) ) y cuando calculas el derivado, el coeficiente independiente es \(b\), como es raiz multiple, tambien es raiz del derivado entonces nuevamente por gauss sabes que \(p|b\), como \(p|a , p|b\) entonces \(p|(a:b)=1\) entonces \(p=\pm1\) por lo tanto tus unicos candidatos son \(\pm1\) cuando reemplaces por\(\pm1\) te van a quedar unas diofanticas
espero haberte ayudado, si te parece que algo esta mal decime.
Suerte

¿Pueden ser a y b coprimos si a = b o a = -b? ¿y en el otro caso?

En respuesta a Yossarian, si a=+-b, y son coprimos deberian ser a=+-1. Entonces habria que probar que pasa con esos casos no?

Es la idea... fijate que en el otro caso tampoco tenés muchas opciones.

era cuestion de ordenar las cosas 😄 . Bueno la cosa me quedo asi: como ahora sabemos que \(\frac{p}{q} = \pm 1\) entonces las unicas raices racionales multiples posibles de \(f\) son \(\pm 1\). No importa si a o b son \(\pm 1\) porque estan contempladas. Si toman esos valores despues se vera. Como sabemos que \(\pm 1\) es raiz de\(f\) y de \(f'\) entonces podemos decir que \((x\pm 1)\) divide a \(f\) y a \(f'\). Bueno, no voy a poner los calculos espero que esten bien, pero el resto de dividir \(f'\) por \((x+1)\) es \(b-21\) entonces \(b=21\). Y el resto de dividir a \(f\) por \((x+1)\) es \(5+a-b\), entonces \(a=16\). Bien, si hacemos lo mismo con la otra raiz, o sea dividir por \((x-1)\), nos queda \(a=12\) y\(b=-15\). Y ya esta creo, encontramos los posibles valores de a y b. 😄
y una pregunta terica...como se define el mcd entre 0 y 0 o sea (0:0)?

Acordate que el mcd se puede escribir siempre como combinación lineal de los dos números. Siempre existen \(,s t \in \mathbb Z\) tales que \((a:b) = sa + bt\). Con esa idea en mente, solo puede ser \((0:0) = 0\).

PD: Borré un post repetido. Saludos.

Fijate que hacer eso es lo mismo q reemplazar por 1 y -1 en el polinomio derivado y luego en el orginal para despejar a y b

para cuando usas la raiz 1 me queda b= 15 y a= -18
dps chekealo

para -1 me da lo mismo

salu2 😄

PD: no te faltó evaluar el caso en q a=+-1 b=+-1 para ver q pasa?

o por lo menos yo entendi q habia q verlos a parte. Igualmente se ve facil q con a=b=1 o -1 el polinomio no tiene raices racionales (Por Gauss) entonces solo queda evaluar el caso q las raices sean 1 o -1 y ver q valores de a y b saltan