Recuperatorio Primer Parcial 2008 (Sin Fecha Fijada)

Buenas.

1. Sean \({f}:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\) la funcion definida por:

\(4 . {a} - 1\) a PAR \(\frac{{a} + 1}{2}\) a IMPAR

(I) Determinar si \({f}o{f}\) es inyectiva. Justificar.
(II) Determinar si \({f}o{f}\) es suryectiva. Justificar.

5. Encontrar todos los \(\left( {a} , {b} \left) \in \mathbb{N} x \mathbb{N}\) tales que \({a}.{b} | {a} + 4 . {b}\)

6. Sea \({a} \in \mathbb{Z}\) tal que \({a} \equiv 2 \left( 7 \left)\) y sea \({b} \in \mathbb{Z}\) tal que \(\left( {a} : {b} \left) = 1\). Hallar el resto de dividir b por 7, sabiendo que \(\left( 5.{a} + 4.{b} : 16.{a} + 3.{b} \left) \neq 1\)

Ejercicio 1: (La Suryectividad esta correctamente probada)? Como \({f}:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\), utilice las siguientes propiedades:
• Si F es Inyectiva => FoF es Inyectiva.
• Si F es Suryectiva => FoF es Suryectiva.

Inyectividad: Llegue a que F NO es Inyectiva; sin embargo eso no demuestra que FoF no lo sea, por lo que calcule FoF y probe que tampoco era Inyectiva.

*Suryectividad: *
F(1) = 1
F(2) = 7
F(3) = 2
F(4) = 15
F(5) = 3
F(6) = 23
F(7) = 4
F(8) = 31
F(9) = 5
F(10) = 39
F(11) = 6
F(12) = 47
F(13) = 7
F(14) = 55
Intuitivamente pareceria que con la parte IMPAR de mi funcion F obtengo todos los naturales; por lo que voy a trabajar con esa parte... Como \({a}\) es Impar lo expreso de la forma: \(2.{k} - 1\) con \({k} \in \mathbb{N}\) y reemplazo en mi funcion F:

=> F es Suryectiva => FoF es Suryectiva.

Ejercicio 5: Aca me trabe y no supe como seguir... Ayuda!

\({a}.{b} | {a} + 4 . {b} \Rightarrow {a}.{b} | \left( {a} + 4 . {b} \left) . b \Rightarrow {a}.{b} | {a} . {b} + 4 . {b}^{2}\). Como \({a} . {b} | {a} . {b} \Rightarrow {a} . {b} | 4. {b}^{2}\)

\({a}.{b} | {a} + 4 . {b} \Rightarrow {a}.{b} | \left( {a} + 4 . {b} \left) . a \Rightarrow {a}.{b} | {a}^{2} + {a} . {b} . 4\). Como \({a} . {b} | {a} . {b} \Rightarrow {a} . {b} | 4. {a} . {b} \Rightarrow {a} . {b} | {a}^2\)

Hasta aca llegue...
Pense en plantear un \({p}\) primo que divida a \({a} . {b}\) pero no llegue a ningun lado. ¿Alguna idea?

Ejercicio 6: ¿Es correcto lo que hice? Algunos datos que proveia el problema ni los use!! (Como que \({a} \equiv 2 \left( 7 \left)\)) Sea \({d} = \left( 5.{a} + 4.{b} : 16.{a} + 3.{b} \left)\) entonces:

\({d} | 5.{a} + 4.{b}\) y \({d} | 16.{a} + 3.{b}\)
\({d} | \left( 5.{a} + 4.{b} \left) . 16\) y \(\left( {d} | 16.{a} + 3.{b} \left) . 5\)
\({d} | 80.{a} + 64.{b}\) y \({d} | 80.{a} + 15.{b}\)

\({d} | 5.{a} + 4.{b}\) y \({d} | 16.{a} + 3.{b}\)
\({d} | \left( 5.{a} + 4.{b} \left) . 3\) y \(\left( {d} | 16.{a} + 3.{b} \left) . 4\)
\({d} | 15.{a} + 12.{b}\) y \({d} | 64.{a} + 12.{b}\)

Como \(d | 49.{b}\) y \(d | 49.{a}\) entonces:

Pero sabemos que \(\left( {a} : {b} \left) = 1\) por lo tanto deducimos que \({d} | 49 \Rightarrow {d} = 1, 7 o 49\)

Si \({d} = 7 \Rightarrow 7 | 49.{a} y 7 | 49.{b} \Rightarrow 49.{b} \equiv 0 \left( 7 \left) \Rightarrow 49.{b} \equiv 49 \left( 7 \left) \Rightarrow {b} \equiv 1 \left( 7 \left) \Rightarrow\) El resto de dividir a b por 7 es 1.

Saludos!

Para el \(5\), yo lo encararía así:

Tenés que \(a.b|a+4b\)
Entonces \(a|a+4b\) y \(b|a+4b\)
Entonces \(a|4b\) y \(b|a\)
Entonces \(|a| \leq |4b|\) y \(|b| \leq |a|\)
Como \(a,b \in \mathbb{N}\)
\(a \leq 4b\) y \(b \leq a\) (o sea, \(b \leq a \leq 4b\))
y acá también me trabo y no se me ocurre cómo seguir :S

Firma

$$\bigstar Sofi \bigstar$$

el 1 creo que está bien.

El 6 está mal, en el ultimo paso no podes dividir por 49.

Firma

Quimey

Sofía escribió:

Para el \(5\), yo lo encararía así:

Tenés que \(a.b|a+4b\)
Entonces \(a|a+4b\) y \(b|a+4b\)
Entonces \(a|4b\) y \(b|a\)
Entonces \(|a| \leq |4b|\) y \(|b| \leq |a|\)
Como \(a,b \in \mathbb{N}\)
\(a \leq 4b\) y \(b \leq a\) (o sea, \(b \leq a \leq 4b\))
y acá también me trabo y no se me ocurre cómo seguir :S

Respecto al ejercicio 5...
El planteo \(a.b|a+4b \Rightarrow a|a+4b\) y \(b|a+4b\) no del todo cierto.
En realidad el mismo seria \(a.b|a+4b \Rightarrow a|a+4b\) o \(b|a+4b\).
Si \(a|a+4b \Rightarrow\) Como \(a|a \Rightarrow a|4b \Rightarrow 4b \equiv 0 \left( a \right)\)
Si \(b|a+4b \Rightarrow\) Como \(b|b \Rightarrow b|4.b \Rightarrow b|a \Rightarrow a \equiv 0 \left( b \right)\)
Pero otra ves, aqui me trabo.. ¿Alguna idea surgio?

Quimey escribió:

el 1 creo que está bien.

El 6 está mal, en el ultimo paso no podes dividir por 49.

Buenas!
En el Ejercicio 6, supongo que te referis al paso:

¿Porque no puedo realizar ese paso?

Saludos!

Porque estás dividiendo por 0. \(49b \equiv 0 \pmod{7} \iff 7|49b\). Esto es cierto para todo b entero. No podés sacar ningún dato de acá.
EDIT: Podés dividir y multiplicar por cosas coprimas al módulo en el que estás trabajando.

Firma

Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.

BiFo escribió:

Sofía escribió:

Para el \(5\), yo lo encararía así:

Tenés que \(a.b|a+4b\)
Entonces \(a|a+4b\) y \(b|a+4b\)
Entonces \(a|4b\) y \(b|a\)
Entonces \(|a| \leq |4b|\) y \(|b| \leq |a|\)
Como \(a,b \in \mathbb{N}\)
\(a \leq 4b\) y \(b \leq a\) (o sea, \(b \leq a \leq 4b\))
y acá también me trabo y no se me ocurre cómo seguir :S

Respecto al ejercicio 5...
El planteo \(a.b|a+4b \Rightarrow a|a+4b\) y \(b|a+4b\) no del todo cierto.

\(a.b|a+4b \Rightarrow a+4b=a.b.q\) con \(q \in \mathbb{Z}\).
Llamo \(k=b.q\) (\(k \in \mathbb{Z}\)), tengo que \(a+4b=a.k \Rightarrow a|a+4b\)
Llamo \(m=a.q\) (\(m \in \mathbb{Z}\)), tengo que \(a+4b=b.m \Rightarrow b|a+4b\)

No sé dónde está el error para vos...

Como probaron que no es inyectiva? a mi me da que si 😕
Lo probe fijandome los casos, si a es par y b es par, si a es par y b impar y si a es impar y b es impar y en todos los casos me queda a=b, menos en el segundo que me da absurdo 😢

f(2)=f(13)=7

Por lo tanto f(f(2))=f(f(13))=f(7)=4

Problema 5: \($Encontrar todos los $(a,b)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ tales que $ab \mid a+4b\)

\(ab \mid a+4b \Rightarrow b \mid a+4b \Rightarrow b \mid a \Rightarrow a=bk\)

\($Finalmente, $\fbox{$(a,b) \in \{(1,1),(5,5),(2,1),(6,3),(4,1),(8,2)\}$}\)