FINAL DEL 16/12/2008

Por favor, si alguien tiene el ùltimo final, y puede subirlo, desde ya, gracias

Lo mismo digo del final que se dio en la fecha el 23/12.
Me gustaria saber con que me podria llegar a encontrar el 30/12 jaja.

Saludos!

Hola, conseguì el enunciado del examen, el 1 ya lo pusieron, asì que transcribo los otros.

2. ¿Cuàntas funciones \(f: \{1,2,\cdots ,16\}\longrightarrow \{1,2,\cdots ,35\}\) se pueden definir con la condiciòn de que sean estrictamente crecientes y que satisfagan que \(F(3)>7\)?.

3. Probar que si \(a,\;b,\;c\in \mathbb{N}\), entonces \((\,a:(b:c)\,)\eq= (\,(a:b):c\,)\).

4. Factorizar el polinomio \({X}^{12}-1\) en \(\mathbb{Q}[X]\).

Agradecerè ayuda, sobre todo con el 2. Hasta pronto

Editado 2 veces.

Bueno, les cuento lo que pensé para el 2 (advierto, bastante largo!!):

Sean los conjuntos \(A = \{1, 2, ..., 16\}\) dominio de \(f\), y \(B = \{1, 2, ..., 35\}\) codominio de \(f\).
Como \(f\) es una función estrictamente creciente, \(\forall {x}_{1}, {x}_{2} \in A\) se cumple que \({x}_{1} < {x}_{2} \Leftrightarrow f({x}_{1}) < f({x}_{2})\). Es por esta condición que si tomamos algún \(x \in A\), debemos asegurarnos que existan suficientes elementos de \(B\), diferentes entre sí y mayores a \(f(x)\), para que cada \(f(x')\) con \(x' \in A\) y \(x' > x\), tenga un valor asignado de B. Por este motivo \(f(3)\) tiene que ser a lo más 22, puesto que existen 13 valores de A mayores a 3, y 13 valores de B mayores a 22. De otra forma, si \(f(3)\) fuese mayor a 22, quedarían menos valores de B mayores a \(f(3)\) para poder cubrir todos los \(f(x)\) con \(x > 3\). Por este motivo, y como \(f(3)\) tiene que ser mayor a 7, sabemos que \(8 \leq f(3) \leq 22\).

Habiendo explicado esto, y llegado a la conclusión de que para poder definir \(f\), \(f(3) \in [8, 22]\), vamos a separar en 15 casos para simplificar las cuentas, tomando en cada "caso N" que \(f(3) = N\).

Veamos entonces en general el caso N, en donde como recién dijimos \(f(3) = N\), y luego agruparemos todos los casos con \(8 \leq N \leq 22\).

CASO N Podemos definir \(f\) de la siguiente forma:

- si \(1 \leq x \leq 2: g(x)\) en donde \(g : \{1, 2\} \rightarrow \{1, ..., N-1\}\) estrictamente creciente. - si \(x = 3\): \(N\) - si \(4 \leq x \leq 16: h(x)\) en donde \(h : \{4, ..., 16\} \rightarrow \{N+1, ..., 35\}\) estrictamente creciente.

Como lo único que hice fue redefinir a \(f\) por partes para simplificar el trabajo, y recordando que estamos en el caso N (un caso particular), podemos de esta forma contar la cantidad de posibles funciones \(f\) con \(f(3) = N\) a partir de la cantidad de posibles funciones \(g\) y posibles funciones \(h\).

En general una función \(\alpha\) estrictamente creciente con \(\alpha : A \subset \mathbb{Z} \rightarrow B \subset \mathbb{Z}\) se define tomando \(#A\) elementos diferentes de \(B\), y asignarlos debidamente a cada \(\alpha(x)\) con \(x \in A\), y hay una sola forma de hacer esta asignación, puesto que deben estar ordenados (según el orden en \(\mathbb{Z}\)) y existe una única forma de ordenar números enteros.

Entonces, podemos concluir que la cantidad de funciones estrictamente crecientes \(\alpha\) con \(\alpha : A \subset \mathbb{Z} \rightarrow B \subset \mathbb{Z}\), es la misma cantidad que tomar \(#A\) elementos diferentes de \(B\) (sin importar su orden, puesto que una vez tomados los elementos, hay una sola forma de ordenarlos), y esto se puede hacer de \(\binom{\%23B}{\%23A}\) formas.

Por este motivo, en particular en el caso N, con \(f(3) = N\), hay \(\binom{N-1}{2}\) funciones posibles \(g\) puesto que el dominio y codominio de \(g\) tienen respectivamente 2 y \(N-1\) elementos, y \(\binom{35-N}{13}\) posibles funciones \(h\), puesto que el dominio y codominio de \(h\) tienen respectivamente 13 y \(35-(N+1)+1 = 35-N\) elementos.

De esta forma, como se pueden construir \(\binom{N-1}{2}\) funciones posibles \(g\), y \(\binom{35-N}{13}\) funciones posibles \(h\), y \(f\) se construye a partir de \(g\) y \(h\), tenemos que se pueden construir \(\binom{N-1}{2} \cdot \binom{35-N}{13}\) funciones f (siempre considerando que estamos en el caso \(N\), puesto que no sólo \(f\), sino también \(g\) y \(h\) dependen de \(N\)).

De esta forma, como dijimos al principio, \(N\) puede ir de \(8\) a \(22\) inclusives, por lo que la cantidad total de funciones \(f\) posibles, es la suma de los 15 casos posibles pues estos son disjuntos (en cada uno \(f(3)\) tiene un valor diferente), por lo que la cantidad total de funciones \(f\) que se pueden definir es:

\(\sum_{N=8}^{22} \binom{N-1}{2} \cdot \binom{35-N}{13}\)
Bueno, como verán es bastante largo de explicar aunque la idea es realmente muy sencilla.. intenté ser lo más detallista posible porque es un final, pero sé también que pueden haber miles de cosas por remarcar y mejorar.. la verdad que estuve bastante tiempo escribiendo esto, asi que espero que más o menos esté bien..

¿Piensan que hay alguna forma más corta de explicar todo lo necesario para resolver el problema?

Bueno, díganme que les parece!! si hay algo que esté mal, o si no se entiende algo POR FAVOR avisen.. porque estamos a solo 4 dias del final!!! 😐

Espero también haber sido de ayuda!!

Saludos!!

Editado 5 veces.

Sino acá hay uno que es muy parecido:
[Resuelto] Examen final(17-12-04), ejercicio 2

gracias!!! está bueno ver que hay mil formas de hacerlo! (y que tomaron EXACTAMENTE el mismo ejercicio que un final anterior xD) aunque comparando con los demás veo que quizás me excedí un poco con las explicaciones.. yo creí que eran necesarias por estar en un final.. 😕 no lo son??

EDITADO: agregué el 3, acá va:

Recordemos que \(\forall a,b \in \mathbb{Z}, a \not = 0 \lor b \not = 0,\) se cumplen las siguientes condiciones que definen al máximo común divisor:
1. \((a:b) \in \mathbb{N}\)
2. \((a:b)|a \land (a:b)|b\)
3. \(c|(a:b) \Leftrightarrow c|a \land c|b\)

Como (1), (2) y (3) son las condiciones que definen al máximo común divisor:

Por (3): \(m|(a:b) \Leftrightarrow m|a \land m|b\), por lo que: Por un razonamiento análogo, y además por ser la operación lógica \(\land\) conmutativa, obtenemos también que Por lo tanto: \(d = ((a:b):c) \Leftrightarrow d = (a:(b:c))\) Y finalmente obtenemos que \(((a:b):c) = (a:(b:c))\), que es lo que queríamos demostrar. nuevamente espero haber ayudado!

díganme qué les parece!

saludos!

Editado: apliqué la definición del MCD al principio para que quede más claro

Editado 3 veces.

Pongo el ejercicio 4, para que resolvamos......

4. Sea w una raìz sexta primitiva de la unidad. Hallar todos los n\(\in\mathbb{N}\), tales que \(\sum_{i=0}^{n}{w}^{2i}=1.\)

Hasta muy pronto....

Editado 1 vez.

Les muestro otra forma de hacer el dos, aunque no estoy segura que estè bien:

Considero tres casos disjuntos:
CASO 1 : toda la imagen es mayor que 7, por lo tanto hay

CASO 2: F(1)\(\leq7 y F(2)>7\)

CASO 3: \(F(1) Y F(2)\leq7 y F(3)>7\)

Por lo tanto la cantidad de funciones con las caracterìsticas pedidas es:

Aguardo comentarios.

Acá pensé el 4 pero no sé si está bien, ¿se pueden fijar?😛
gracias🙂
Si \(w\notin {G}_{2}\)

\({w}^{2(n+1)}-1={w}^{2}-1\) \(\leftrightarrow\) \({w}^{2(n+1)}={w}^{2}\) Si \(w\neq 0\) lo cuál es cierto pues \(w\in {G}_{6}\) No sé si está bien justificado de acá se deduce que Hay que buscar los w tales que si \(w\in{G}_{6}\) entonces\(w\in{G}_{2n}\) entonces \({G}_{6}\subseteq{G}_{2n}\) Que pasa si \(w\in{G}_{2}\) entonces \(w=1\) o \(w=-1\) Respuesta:Si \(w\in{G}_{6}\cap{{G}_{2}}^{-}\) Entonces \(n=3q\) con \(q\in\mathbb{Z}\)

Mar, excelente el 2! calculé ambos resultados y nos dio lo mismo! (1134965475)

es claro que tu resolución es mucho más simple que la mia! 🙂 sólo como consejo acordate en el final de justificar un poco más esos números combinatorios,

en finn.. muy buena resolución!

Me alegro que estè bien, no estaba segura, mis justificaciones son siempre pobres, ademàs acà trato de no escribir mucho. Muchas gracias por la respuesta.

Respecto del 4 ¿Coinciden?, me parece que al simplificar \({w}^{2}\) perdemos soluciones, yo ahì tomè argumentos, y queda:
arg w=k\(\pi\)/n., AYUDA!

Mar escribió:

Me alegro que estè bien, no estaba segura, mis justificaciones son siempre pobres, ademàs acà trato de no escribir mucho. Muchas gracias por la respuesta.

Respecto del 4 ¿Coinciden?, me parece que al simplificar \({w}^{2}\) perdemos soluciones, yo ahì tomè argumentos, y queda:
arg w=k\(\pi\)/n., AYUDA!

Creo que coinciden por que \(arg w=2 \pi . \frac{k}{2n}\) y los k que verifican son 2n que son los que pertenecen a \({G}_{2n}\). Espero ayudar pero no sé

El paso de simplificar esta perfecto y no se pierde ninguna solucion, como bien esta dicho en la resolucion para justificar este paso se usa el hecho de que w es distinto de 0

Firma

Quimey

alguien me puede decir por favor si lo que posteé del 2 y del 3 está bien como para entregar eso en el final??

gracias!!

Tus ideas en el 2 y el 3 parecen estar bien, lo que si, te hago 2 observacionesa:

1. Escribis de una forma bastante rebuscada y creo que abusas de los simbolos, una cosa teorica se entiende mucho mas si usas palabras para explicarla (lo digo por el 3). Ademas tene cuidado en como usas el si y solo si, porque note que lo aplicas bastante, y a veces no es tan claro si vale o si solo vale una implicacion. Por ejemplo vos decis sea d=((a:b):c) y mas adelante \(d=((a:b):c)\Rightleftarrow ...\), o sea decis que algo que vos sabes que es cierto es equivalente a otra cosa. Bah, no es que este mal, solo que me parece medio confuso.

2. Lo unico que no me gustó es que el resultado te halla quedado una sumatoria cuando se podia hacer sin eso(como hizo Mar), quiza lo que buscaba el docente era la otra respuesta. Aclaro que no es que este mal, si no que quiza no querian eso.

Suerte y espero que se entienda

quimey!! muchísimas gracias!!! 🙂

si, tenés razón! en el 3 puede quedar confuso porque la definición la debería haber usado al principio jeje, así:
Sea \(d = ((a:b):c)\)
Como (1), (2) y (3) son las condiciones que definen al máximo común divisor:
\(d = ((a:b):c) \Leftrightarrow (d \in \mathbb{N}) \land (d|(a:b) \land d|c) \land (k|(a:b) \land k|c \Leftrightarrow k|d)\), llamaremos a esto \((\star)\).Y ahí el sí y sólo sí es claro puesto que por definición ambas cosas son equivalentes, y ya el resto se hubiese entendido más porque sólo hubiese hecho un cambio de cosas que son equivalentes por definición.. ahora lo cambio en el otro post..

Con respecto a usar palabras, al ser una pregunta teórica, no habría que usar literalmente las definiciones que nos enseñaron? sino, si te ocurre alguna forma de resolverlo con palabras, podrías postearla??

mil gracias de nuevo! 🙂

Yo decia que escribas mas o menos lo mismo pero con palabras. Algo así:
La definicion de maximo comun divisor es que es un numero que divide a ambos y que dado cualquier otro numero que divide a ambos es dividido por este. Para ver la igualdad pedida sea d=((a:b):c) y veamos que verifica la definicion de mcd para (a🙁b:c)). Sea x un divisor de a y de (b:c), veamos que d divide a x ....

ahh, está bien! ahora entiendo cómo decis hacerlo! está buena tu idea y quizás se entienda más, pero opté por usar la definición formal que nos enseñaron.. el tema es que quizás no había sido claro porque usé la definición al final en vez de al principio..

a ver, ya cambié el 3, decime si ahora queda más claro:
viewtopic.php?f=39&t=789&p=4181#p4181

Hola, ahora estoy con los polinomios, escribo lo que pensè del 5, pero necesito ayuda otra vez...., no està concluido:

f= (x-1)(x+1)(\({x}^{2}\)+1)(\({x}^{8}\)+\({x}^{4}\)+1)

Evidentemente, \({x}^{2} + 1\) no tiene raìces reales, por lo cual es irreducible en \(\mathbb{Q}\)
En cuanto ( \({x}^{8} + {x}^{4} + 1)\), segùn mis cuentas, que son muy feas, es irreducible en \(\mathbb{Q}\), pero creo que se puede demostrar mejor,
Aguardo comentarios, saludos

Ahí va lo que "pensé"
\(x^{12} - 1 = (x^6 + 1) (x^6-1)\) [diferencia de cuadrados]
\(x^6-1 = (x^3+1) (x^3-1)\) [otra vez]
\(x^3-1 = (x-1) (x^2+x+1)\) [sacando la raíz lógica \(x=1\), el otro es de grado \(2\) sin raíces reales]
\(x^3+1= (x+1) (x^2-x+1)\) [sacando la raíz lógica \(x=-1\), el otro es de grado \(2\) sin raíces reales]

¿y qué pasa con \(x^6+1\)?

aplicando de Moivre

\(k=0\) ; \(\alpha_1 = \frac{\pi}{6}\)
\(k=1\) ; \(\alpha_2 = \frac{\pi}{2}\)
\(k=2\) ; \(\alpha_3 = \frac{5\pi}{6}\)
\(k=3\) ; \(\alpha_4 = \frac{7\pi}{6}\)
\(k=4\) ; \(\alpha_5 = \frac{3\pi}{2}\)
\(k=5\) ; \(\alpha_6 = \frac{11\pi}{6}\)

Como \(\alpha_2 = \frac{\pi}{2}\) y \(\alpha_5 = \frac{3\pi}{2}\), entonces \(i\) y \(-i\) son raíces. Sabemos que \((x+i)(x-i)=x^2+1\)

A \(x^4-x^2+1\) no se lo puede reducir más ya que si se lo descompone se lo hace en raíces complejas y con coeficientes irracionales (son las restantes soluciones \(\alpha_{1,3,4,6}\). ver para creer 😛)

Yossarian escribió:

para ver mejor que \(x^4 - x^2 +1\) no se puede facotrizar, hacés gauss, ves que no tiene raices en \(\mathbb{Q}\), y después lo mirás como una bicuadrática, para ver que no se puede factorizar como producto de dos de grado \(2\)

Reescribiendo todo nos queda:

Que son todos irreducibles en \(\mathbb{Q}\). Siempre cuando tengas algo en \(\mathbb{Q}\) no te tires de una a sacarle las raíces... probá algunos truquitos como diferencias de cuadrados, o algo así... después sacale las raíces.
(gracias Yossarian por tu apoyo incondicional)

Para ver mejor que \(x^4 - x^2 +1\) no se puede facotrizar, hacés gauss, ves que no tiene raices en \(\mathbb Q\), y después lo mirás como una bicuadrática, para ver que no se puede factorizar como producto de dos de grado 2... ta todo bien.

Muchas gracias!!!!!!!

santiago-kun, muy linda tu resolución del 5! 🙂

A mi se me ocurrió otra forma de resolverlo, en donde paso de \(\mathbb{C}[x]\) a \(\mathbb{R}[x]\) agrupando las raíces conjugadas, y luego de \(\mathbb{R}[x]\) a \(\mathbb{Q}[x]\) reemplazando algunos valores, acá va:
Aclaración: antes que nada, más adelante cuando uso que \(z^6 = -1\), no expliqué por qué para mentener la simpleza, pero el que quiere saber por qué pasa me avisa.. bueno, empecemos:

Como \(f(x) = x^{12} - 1\), y las raíces de \(f\) son tales que \(f(x) = 0\), tenemos que \(x^{12} - 1 = 0 \Leftrightarrow x^{12} = 1\), lo que indica que el conjunto de raíces de \(f\) es \(G_{12}\).

Ahora tomo \(z\) raíz primitiva de la unidad de orden 12 de menor argumento, por lo que sé que \(G_{12} = \{ z^k : 0 \leq k < 12 \}\).

Luego puedo factorizar el polinomio \(f\) en \(\mathbb{C}[x]\) de la siguiente forma: \(\prod_{k=0}^{11} (x - z^k)\), y veamos lo que pasa aplicando algunas propiedades:

\(\prod_{k=0}^{11} (x - z^k) = (x - z^0) (\prod_{k=1}^{5} (x - z^k)) (x - z^6) (\prod_{k=7}^{11} (x - z^k))\) \(\leftarrow\) partimos de \(\mathbb{C}[x]\)

\(= (x - 1) (x + 1) (\prod_{k=1}^{5} (x^2 - 2 Re(z^k) x + 1))\) \(\leftarrow\) llegamos a \(\mathbb{R}[x]\)

Ahora, como \(cos(\frac{2 k \pi}{12})\) para \(k = 1, 2, 3, 4\) y \(5\) es respectivamente: \(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 0, -\frac{1}{2}\) y \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\), reemplazamos:

\(= (x - 1) (x + 1) (x^2 - x + 1) (x^2 + 1) (x^2 + x + 1) \cdot ( (x^2 - \sqrt{3} x + 1) (x^2 + \sqrt{3} x + 1) )\) (cambié el orden de los factores) \(= (x - 1) (x + 1) (x^2 - x + 1) (x^2 + 1) (x^2 + x + 1) (x^4 - x^2 + 1)\) \(\leftarrow\) llegamos a \(\mathbb{Q}[x]\).

Justificación:
Finalmente, esta última es la factorización del polinomio en \(\mathbb{Q}[x]\) pues éste está expresado como producto de polinomios irreducibles en \(\mathbb{Q}[x]\), y esto se ve pues los polinomios de grado \(1\) son irreducibles en \(\mathbb{Q}[x]\), los de grado 2, son el producto de dos polinomios de grado 1 que no pertenecen a \(\mathbb{Q}[x]\) puesto que en \(G_{12}\) los elementos que son diferentes de \(1\) y \(-1\), ninguno pertenece a \(\mathbb{Q}[x]\), por lo que en la productoria todos eran polinomios de grado 1 que no pertenecían a \(\mathbb{Q}[x]\), y finalmente el de grado 4, como estuvo expresado como producto de dos polinomios que no pertenecen a \(\mathbb{Q}[x]\), y el producto sí pertenece, entonces es irreducible en \(\mathbb{Q}[x]\). Luego, por ser todos los factores polinomios irreducibles en \(\mathbb{Q}[x]\), ésta es la factorización del polinomio en \(\mathbb{Q}[x]\), que era lo que buscábamos.

Muy bueno pensarlo como \(G_{12}\)!! Seguro es lo que esperaban del ejercicio en el final! 🙂

A ver gente; estuve mirando mirando sus resoluciones del ejercicio 5. Les comento un poco como lo pensé, y me dicen que tengo mal...

Yo lo pensé \(G_{12}\) como Axel. Entonces:

Es evidente que \(G_{2} \subset G_{12}\) ya que \(G_{n} \subset G_{m} \Longleftrightarrow n|m\) y \(2|12\). Entonces digo: \(X^{12} = 1 \Longleftrightarrow (X^2)^6 = 1\). Como las raices de \(G_{2}\) son \(1\) y \(-1\), y esas son las unicas raices que pertenecen a \(\mathbb{Q}\) solo me queda dividir el polinomio (que es una division muy simple) por \((x-1)(x+1)\) o sea \(x^2-1\) y eso me da: \(f = (X^{10} + X^8 + X^6 + X^4 + X^2 + 1)(X-1)(X+1)\) y ese es mi polinomio factorizado en \(\mathbb{Q}\). Si multiplican sus resultados, da ese polinomio que tengo arriba.

Esta bien este razonamiento? Le estoy pifiando en algo?
Espero respuestas!! GRACIAS!!!

Ya esta!! Axel me explicó cual era mi error!! \(X^{10}+X^8.....\) no tiene raices en \(Q\) pero si es reducible, y ahi esta mi gravisimo error!!

GRACIAS AXEL!!

Christian escribió:

Acá pensé el 4 pero no sé si está bien, ¿se pueden fijar?😛
gracias🙂
Si \(w\notin {G}_{2}\)

$$\sum_{i=0}^{n}{w}^{2i}=\frac{{w}^{2(n+1)}-1}{{w}^{2}-1}=1$$

\({w}^{2(n+1)}-1={w}^{2}-1\) \(\leftrightarrow\) \({w}^{2(n+1)}={w}^{2}\) Si \(w\neq 0\) lo cuál es cierto pues \(w\in {G}_{6}\) No sé si está bien justificado

$${w}^{2n}=1$$

de acá se deduce que Hay que buscar los w tales que si \(w\in{G}_{6}\) entonces\(w\in{G}_{2n}\) entonces \({G}_{6}\subseteq{G}_{2n}\)

$$n\equiv0(3)$$

Que pasa si \(w\in{G}_{2}\) entonces \(w=1\) o \(w=-1\)

$$\sum_{i=0}^{n}{1}^{2i}=\sum_{i=0}^{n}{(-1)}^{2i}=\sum_{i=0}^{n}{1}^{i}=n+1\neq1$$

Respuesta:Si \(w\in{G}_{6}\cap{{G}_{2}}^{-}\) Entonces \(n=3q\) con \(q\in\mathbb{Z}\)

Una cosa Christian: \(w \notin G_2\) porque \(w\) es una raíz sexta primitiva de la unidad.

Claro, como dice santiago-kun, por ser \(w\) una raíz sexta primitiva de la unidad, entonces \(w \not \in G_2 \Leftrightarrow w \not = 1\) y \(w \not = -1\), por lo que vale el primer paso.

Luego al final cuando llegás a que \(w^{2n} = 1\), se puede terminar así:
Por ser \(w\) una raíz sexta primitiva de la unidad, \(w^{2n} = 1 \Leftrightarrow 6 | 2n \Leftrightarrow 3 | n \Leftrightarrow n \in \{ 3q : q \in \mathbb{N} \}\)

Perdón que reflote topics viejos pero voy a rendir mañana y quiero estar preparado. mientras hago los ejercicios, los posteo a ver que onda.

Para el 3 se me ocurrió:

\((a:(b:c)) = ar + (b:c)s $ por la identidad de Bezout\)

Me suena a chamuyo.. que dicen?

Firma

No entiendo muy bien que estas haciendo pero:
No es cierto que \(ua+vb=(a:b)\) para cualquier u y v. Lo que vale es que existen u y v con esa propiedad

escribo lo que pensé para el 3) (acá uso mucho las ideas de axelbrz, pero no entiendo como él llega a la igualdad)
Sea\(d \in \mathbb{N} d=(a:(b:c))\)si y sólo si \(d|a y d|(b:c) \leftrightarrow d|a, d|b y d|c\)

Analogamente sea \(k=( (a:b): C)\) si y sólo si \(k|c y k|(a:b) \leftrightarrow k|b , k|a y k|c\)

luego como k|d y d|k y ambos son positivos entonces k=d

Firma

"La matemática es una travesía al interior de una extraña jungla donde los exploradores se pierden con frecuencia".