Que tal a todos, tengo una copia del final que dieron el 16/12/08. Y en el ejercicio 1. No encuentro la forma de hallar la transistividad. No se si alguien puede ver como se hace?.
Aca les va el ejercicio:
Sea p un primo positivo y sea A= {1,2,3,....,p-1}. Definimos en A la relación aRb sí y solo sí la ecuacion x²{b}^{i} \equiv 1 (m)
Enunciado correcto: Sea \(p\) un primo positivo y sea \(A\eq= \{1,2,3,\cdots ,p-1\}\). Definimos en \(A\) la relación \(a \Re b \iff \exists x: {x}^{2}\equiv a\cdot b(p)\). Decidir si \(\Re\) es reflexiva, simétrica, transitiva, y antisimétrica.
¿Está bien el enunciado? ¿Dónde está involucrado \(a\)?
PD: ahora lo paso a un ejercicio nuevo, así este post puede usarse para ejercicios del final inicial.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
sorry a todos copie mal el ejercico, recien estoy aprendiendo a escribir los simbolitos: .....
lo que quise decir es como se puede probar la transitividad de \(a \Re b\) en el conjunto \(A= \{1,2,3,\cdots ,p-1\}\) con p primo. La relacion esta definida: \(a \Re b\) si y sólo si la ecuacion \({x}^{2}\equiv a\cdot b(p)\) tiene solucion.
La reflexividad y la simetría son obvias, dado que \({x}^{2}\equiv {a}^{2}(p)\iff p|{x}^{2}-{a}^{2}\eq=(x-a)(x+a)\), con lo que tomando \(x\equiv a(p)\) ya está. Esto prueba que \(a\Re a,\forall a \in A\). La simetría... bueno, esa ni la menciono. La transitividad.
$$a\Re b\iff \exists x\in A:{x}^{2}\equiv ab(p)$$
$$b\Re c\iff \exists y\in A:{y}^{2}\equiv bc(p)$$
$${x}^{2}\cdot {y}^{2}\equiv a{b}^{2}c(p)$$
Pero \(p\) es primo, y \(b\neq 0\implies \exists {b}^{-1}:b\cdot {b}^{-1}\eq\equiv 1(p)\). Luego, multiplicando miembro a miembro por \({({b}^{-1})}^{2}\), nos queda:
Teniendo que si tomamos \(x\cdot y \cdot {b}^{-1}\), tenemos solución para la ecuación \({z}^{2}\equiv a\cdot c(p)\iff a\Re c\). En particular, para que esté sobre \(A\), tomamos congruencia módulo p y listo. De ahi la transitividad.
Espero haber ayudado. Saludos.