\(1)\) Probar que para todo \(n \in \mathbb{N}\), \(n \geq 3\) vale que \(2^n | a^{2^{n-2}}-1\), siendo \(a\) un entero impar.
\(2)\) Calcular cuantas funciones estrictamente crecientes hay de \(\lbrace 1,2,...,12\rbrace\) en \(\lbrace 1,2,...,20 \rbrace\) tales que \(f(6)=11\) y \(4 \notin Im f\).
\(3)\) Sea el conjunto \(A = \lbrace 1,2,...,p-1\rbrace\) con \(p\) un número primo. Se define la relación de equivalencia en \(A\):
\(a \mathcal{R} b\) sii la ecuación \(x^2 \equiv ab\) \((mod p)\) tiene solución.
Probar que \(\mathcal{R}\) es una relación de equivalencia.
\(4)\) Sea \(m \in \mathbb{Z}\), \(m\) par y \(w \in \mathbb{C}\) una raíz \(2m\)-ésima primitiva de la unidad. Probar que \((w-1)^m\) es imaginario puro.
\(5)\) Hallar \(f \in \mathbb{Q}[X]\) de grado mínimo tal que:
\(i)\) \(1 - \sqrt{3}\) es raíz de \(f\)
\(ii)\) \((f:f')=x^4+2x^3+4x^2+6x+3\)
\(iii)\) \(f(-2)=14\)
perdonen que ni me esfuerce en escribir bien todo, pero creo que se entiende.
Alcanza con probar que \({(w-1)}^{m}+\overline{{(w-1)}^{m}}=2Re({(w-1)}^{m})=0\)
Para el 5
Si \(1-\sqrt{3}\) es raíz, como el polinomio está en \(\mathbb{Q} [x]\), entonces se tiene que \(1+\sqrt{3}\) es raíz también. La segunda condición te dice que tiene raíces múltiples. El tercero seguramente te sirva para determinar el coeficiente principal.
Disculpen, pero tengo un problema justamente con el 3.
no pude probar la transitividad. Digamos, parto de que
$$aRb \ : \ x^2 \equiv ab (p)$$
$$bRc \ : \ y^2 \equiv bc (p)$$
Primero, pongo en una \(y^2\) porque imagino que el \(x^2\) no es necesariamente el mismo para cada par (a,b); (b,c), pues la definicion dice que la relacion se cumple si la ecuacion es resoluble, es decir, que existe un X tal que elevado al cuadrado respete cada congruencia, pero no debe de ser necesariamente el mismo X, porque sino, ab y bc serian iguales, por lo tanto a = c seria trivial.
Ahora, yo sé que existen X e Y que cumplen respectivamente esas condiciones, pero justamente el cuadrado me arruina la teoria de la ecuacion de congruencia, como dijeron por ahi.
Por otro lado, puedo decir que a, b, c (X e Y tambien) son coprimos con p, supongo que de algo sirve (todavia no veo bien para que, quiza para multiplicar y dividir a gusto en cada ecuacion, pero no llegue a nada con eso)
Cualquier pista me ayudaria mucho, este ejercicio me mató.
Muchisimas gracias!
y como b tiene inverso modular, lo que estabamos hablando recién que la ecuación \(bx \equiv 1 (p)\) tiene solución única llamemosla \(b^{-1}\) y esta entre 1 y \(p-1\). tenemos entonces multiplicando a ambos lados por \(b^{-1}\) que
Alcanza con probar que \({(w-1)}^{m}+\overline{{(w-1)}^{m}}=2Re({(w-1)}^{m})=0\)
Sale muy facil de aca? yo plantee lo mismo, pero despues de desarrollar las potencias no veo como llegar a probarlo. A lo maximo que lo reduje fue a probar que \(Re({w}^{i}) = -Re({w}^{m-i})\) pero me trabe.
Alcanza con probar que \({(w-1)}^{m}+\overline{{(w-1)}^{m}}=2Re({(w-1)}^{m})=0\)
Sale muy facil de aca? yo plantee lo mismo, pero despues de desarrollar las potencias no veo como llegar a probarlo. A lo maximo que lo reduje fue a probar que \(Re({w}^{i}) = -Re({w}^{m-i})\) pero me trabe.
Hay una pequeña observación que hace que todo salga fácil.
Cuando tenés \(w \in {G}_{n}\) una raíz \(n-esima\) primitiva de la unidad, donde \(n\) es un natural par, entonces \({w}^{\frac{n}{2}}=-1\).
Esto viene de que \({w}^{\frac{n}{2}}\) es raíz \(2-esima\) de la unidad, ya que \({({w}^{\frac{n}{2}})}^{2}={w}^{n}=1\), entonces \({w}^{\frac{n}{2}} \in \{1,-1\}\), pero como \(w\) es primitiva, no puede ser \(1\), entonces \({w}^{\frac{n}{2}}=-1\)
Con esto procedemos así:
Tomamos \(n=2m\), y a su vez \(m\) es par \(\Rightarrow \, m=2k\)
\(={(w-1)}^{m}+{({w}^{-1}-1)}^{m}={(w-1)}^{m}+{({w}^{2m-1}-1)}^{m}\), acá usé que \(\overline{w}={w}^{-1}={w}^{2m-1}\)
\(={(w-1)}^{m}+{(\frac{{w}^{2m}-w}{w})}^{m}={(w-1)}^{m}+\frac{{(1-w)}^{m}}{{w}^{m}}={(w-1)}^{m}+\frac{{(1-w)}^{m}}{-1}\), acá usé la observación.
Como m es par también, entonces
Alcanza con probar que \({(w-1)}^{m}+\overline{{(w-1)}^{m}}=2Re({(w-1)}^{m})=0\)
Sale muy facil de aca? yo plantee lo mismo, pero despues de desarrollar las potencias no veo como llegar a probarlo. A lo maximo que lo reduje fue a probar que \(Re({w}^{i}) = -Re({w}^{m-i})\) pero me trabe.
Hay una pequeña observación que hace que todo salga fácil.
Cuando tenés \(w \in {G}_{n}\) una raíz \(n-esima\) primitiva de la unidad, donde \(n\) es un natural par, entonces \({w}^{\frac{n}{2}}=-1\).
Esto viene de que \({w}^{\frac{n}{2}}\) es raíz \(2-esima\) de la unidad, ya que \({({w}^{\frac{n}{2}})}^{2}={w}^{n}=1\), entonces \({w}^{\frac{n}{2}} \in \{1,-1\}\), pero como \(w\) es primitiva, no puede ser \(1\), entonces \({w}^{\frac{n}{2}}=-1\)
Con esto procedemos así:
Tomamos \(n=2m\), y a su vez \(m\) es par \(\Rightarrow \, m=2k\)
\(={(w-1)}^{m}+{({w}^{-1}-1)}^{m}={(w-1)}^{m}+{({w}^{2m-1}-1)}^{m}\), acá usé que \(\overline{w}={w}^{-1}={w}^{2m-1}\)
\(={(w-1)}^{m}+{(\frac{{w}^{2m}-w}{w})}^{m}={(w-1)}^{m}+\frac{{(1-w)}^{m}}{{w}^{m}}={(w-1)}^{m}+\frac{{(1-w)}^{m}}{-1}\), acá usé la observación.
Como m es par también, entonces