Final sin fecha.

Alguien que me pueda ayudar con este ejercicio??? 😢

¿Cuántas funciones crecientes hay del conjunto \(\lbrace 1,2,...,n\rbrace\) en el conjunto \(\lbrace 1,2,...,m\rbrace\)?

se que hay que usar bosones pero es un quilombo asegurarme que si \(i<j\) entonces \(f(i) \leq f(j)\)

Elegí un subconjunto de \(\{1,\cdots,m\}\), cuantas funciones hay tal que ese subconjunto sea su imagen?

creo que ya lo saqué, pero lo que hice fue establecer una correspondencia biunívoca entre distribuir \(n\) bolitas indistinguibles en \(m\) cajas numeradas. En este caso cada caja es un elemento de la imagen. por ejemplo me dan una función creciente del conjunto \(\lbrace1,2,3,4\rbrace\) al conjunto \(\lbrace1,2,3,4,5\rbrace\) supongamos \(f(1)=2, f(2)=2, f(3)=4, f(4)=5\) esto se corresponde con la siguiente distribución de \(4\) bolitas en \(5\) cajas, donde si cada bolita es representada por \(\circ\) y las cajas son \(|\) ubicadas a la derecha de las bolitas que contienen entonces la distribución es la siguiente \(| \circ \circ | | \circ | \circ |\). ahora dada una distribución hay una sola forma de definir una función creciente. supongamos que esta es la distribución \(| \circ \circ | | \circ \circ | |\) entonces \(f\) queda definida como \(f(1)=2, f(2)=2, f(3)=4, f(4)=4\) pues si tengo tres bolitas en la caja \(j\) entonces \(f(i) = j,f(i+1) = j,f(i+2) = j\) y ningún otro valor pues \(f\) es creciente. es creible lo que digo? lo desmostraría mas generalmente pero no tengo ganas de tipear en latex

osea en realidad la respuesta es