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Hola a todos! quería saber si alguien me podría ayudar con este ejercicio que practicamente me está causando imsonio! Gracias 😄
Determinar cuantos enteros \(a\) tales que \(0 \leq a \leq 7^{100}\) satisfacen que \(49|a\) y que el desarrollo en base \(7\) de \(a\) tiene por lo menos tres dígitos iguales a \(4\)
ivoo escribió:
Hola a todos! quería saber si alguien me podría ayudar con este ejercicio que practicamente me está causando imsonio! Gracias 😄
Determinar cuantos enteros \(a\) tales que \(0 \leq a \leq 7^{100}\) satisfacen que \(49|a\) y que el desarrollo en base \(7\) de \(a\) tiene por lo menos tres dígitos iguales a \(4\)
Hola.
Primero que nada, fijate que si \(0 \leq a \leq 7^{100}\) te está diciendo que el desarrollo en base 7 de a va a tener como máximo 100 sumandos, o sea, es de la siguiente pinta:
\({b}_{100}{7}^{100}+{b}_{99}{7}^{99}+{b}_{98}{7}^{98}+...+{b}_{1}{7}^{1}+{b}_{0}{7}^{0}\), donde el máximo valor de a sería con \({b}_{i}=0 \forall i=0..99\) y \({b}_{100}=1\), y además \(0\leq{b}_{i}\leq6\forall i=0..99\)
Te están pidiendo que 49 lo divida, entonces eso quiere decir que su desarrollo en base 7 termina con dos ceros por lo menos.
Ahora te queda contar cuántos "anagramas" o como quieras llamarlo podés formar ubicando 7 números distintos en 100-3=97 lugares (le saco los 2 ceros del comienzo y el término centésimo no lo cuento pues sólo puede valer 0 o 1, y si vale 1 es porque el resto de los términos vale 0 y en ese caso no tiene cuatros en su desarrollo, entonces debe ser siempre 0) sabiendo que tenés que ubicar 2 cuatros.
Saludos.
muchisimaaaaaas graciaaaaaas 😄