Sea \(a\) un entero impar. Probar que para todo \(n \in \mathbb{N}_{0}\) se tiene q : \(2^{n+1} \vert a^{2^n} - 1\)
Yo pense lo siguiente
yo quiero ver que \(a^{2n} \equiv 1 (2^{n+1})\). Usando q para \(p=2\) y \(k= n+1\) vale q \(a^{(p-1)\cdot p^{k-2}} \equiv 1 (p^k) \Rightarrow a^2^{n-2}\equiv 1 (2^{n+1})\)
Entonces, \(a^{2n} \equiv 1 (2^{n+1}) \Rightarrow a^{2n-2}\cdot a^2 \equiv 1 (2^{n+1})\). Como \(a^2^{n-2}\equiv 1 (2^{n+1})\), me faltaria ver q \(a^2 \equiv 1 (2^{n+1})\) para todo \(n\).
Como \(a\) es impar \(\Rightarrow a= 2q +1\) con \(q \in \mathbb{Z} \Rightarrow a^2=4 \cdot q^2 + 4\cdot q +1 \Leftrightarrow 4 \cdot q^2 + 4\cdot q +1 \equiv 1 (2^{n+1})\)
$$\Leftrightarrow 4 \cdot q^2 + 4\cdot q \equiv 0 (2^{n+1})$$
$$\Leftrightarrow 2 \cdot q^2 + 2\cdot q \equiv 0 (2^{n})$$
$$\Leftrightarrow 2\cdot q \cdot (q+1) \equiv 0 (2^n)$$
Y aca llego a q si recorro todo los \(n\) puedo fijar \(q= 2^{n-1} \in \mathbb{Z}\) y entonces se cumplira que \(2\cdot q \cdot (q+1) \equiv 0 (2^n)\) y entonces vale la proposicion.
Esta bien o todo mal????...espero sugerencias...
graciasss