$$\textrm{ Calcular el resto de dividir por $11$ el producto de todos los divisores positivos de $23\cdot 5^{32}$}$$
Hice lo siguiente...
Voy a tener multiplicados los siguientes terminos:
$$1 \cdot 5 \cdot 23$$
$$5^1 \cdot (23\cdot 5^1)$$
$$5^2 \cdot (23\cdot 5^2)$$
$$\vdots \vdots$$
$$5^{32} \cdot (23\cdot 5^{32})$$
(espero q se entienda). Bueno, como \(23\equiv =1 (11)\) en lo q se refiere a buscar el resto saco todos los \(23\) q haya y los cambio por \(1\). Luego me quedan multiplicados \(1\) y \(64\) cincos. Es decir tengo \(\prod_{i=1}^{32}(5^2)^i = \prod_{i=1}^{32} 25^i \equiv_{(11)} \prod_{i=1}^{32}3^i = \prod_{i=1}^{6} (3^5)^i \cdot 3^2 \equiv_{(11)} \prod_{i=1}^{6}1^i \cdot 9 \equiv 9 (11)\)
Estoy re ortiva
Pero me parece que te comiste unos casos, imaginate que es \(23.5^{2}\), los divisores son:
1,5,25,23,23.5,23.25
Cuando desprecias al 23 la potencia de 5 que aparece es:
$$0+1+2+0+1+2=6=2*(2^2-1)$$
En el caso de 32 deberia ser:
2*(2^6-1)=126.
Firma
en la "lista"esa q hice no me comi casos, si me comi "5" en la productoria. Es decir, conte 64 cincos pero no me fije q estan a distintas potencias...Si quiero ver cuantos 5 me quedan sumo las potencias; \(2 \cdot \sum_{i=1}^{32} i = 2 \cdot \frac{32.33}{2}\). Y multiplique por 2 por q aparecen 2 veces cada potencia (una multiplicasda por 23 y otra no).
Mucho no entendi lo q me pusite al final pero si respresentan lo mismo; \(32.33 \neq 126\)
Si \(n\) es un número natural y \(p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\ldots p_r^{\alpha_r}\) es su descomposición en primos entonces la cantidad de divisores positivos de \(n\) es \(\delta(n)=(\alpha_1+1)\ldots(\alpha_r+1)\). Obviamente \(n\) no es un cuadrado perfecto si y sólo si \(\delta(n)\) es par.
Sea \(D(n)=\{d_1,d_2,\ldots,d_{\delta(n)}\}\) el conjunto de los divisores positivos de \(n\). Consideremos la transformación \(d\mapsto n/d\). Obviamente es biyectiva porque es su autoinversa. Luego si la aplicamos la a \(D(n)\) obtenemos de nuevo \(D(n)\). Entonces \(d_1d_2\ldots d_{\delta(n)}=(n/d_1)(n/d_2)\ldots (n/d_{\delta(n)})\) y \((d_1d_2\ldots d_{\delta(n)})^2 = n^{\delta(n)}\).
Si \(p(n)=d_1d_2\ldots d_{\delta(n)}\) entonces es obvio ahora que si \(n\) no es cuadrado perfecto, \(p(n)=n^{\delta(n)/2}\) y si \(n\) es un cuadrado perfecto entonces \(p(n)=n^{(\delta(n)-1)/2}\sqrt{n}\).
En nuestro caso \(n=23\cdot 5^{32}\) así que \(\delta(n)=(1+1)(32+1)=2\cdot 33\) y \(p(n)=n^{\delta(n)/2}=n^{33}\). Ahora \(23\equiv 1\,(11)\) así que hay que hallar \(r_{11}(5^{32\cdot33})\). Ahora por Fermat \(5^{10}\equiv 1\,(11)\) luego \(5^{32}\equiv 25\equiv 3\,(11)\) y \(5^{32\cdot 33}\equiv 3^{33}\equiv 3^3=27\equiv 5\,(11)\) y el resto buscado es 5.
Espero que le sirva a alguien. Suerte!
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"En el principio existía la Palabra, y todo era texto." (San Juan Derrida)