[Duda] Final 15/05/03 ej 3)

mi duda es acerca de una parte en especial del ejercicio, tengo q hallar \((a^{25} - 39 : 2. 5^3 . 13^2)\), sabiendo q por ejemplo \(\textrm{ $a$ no es congruente a $4$ modulo $5$}\). Entonces veamos particularmente a q potencia aparace el 5 en el MCD.

\(a^{25} -39\equiv 0 (5) \Leftrightarrow a^{25}\equiv 1 (5)\). Por PTF \(a^5\equiv a (5)\). Entonces, \((a^{5})^5 \equiv_{5} a^5 \equiv_{5} a\equiv 1 (5)\). Luego obtengo q para estos \(a\) 5 divide. Ahora viene mi duda, vamos ver si 25 divide: Se q \(a^{20}\equiv 1(25)\), usando una de las otras formulas q se dan con el ptf (para las q tienen modulo \(p^n\)). Entonces tengo \(a^{25}= a^{20}. a^5 \equiv_{25} a^5\) q quiero q sea congruente a \(1 (25)\). Aca lo q hago, sabiendo q a partir de aca los unicos a q me sirven son \(a\equiv 1(5)\) verifico si cumplen....y cumplen!!! (Esta bien esto ultimo, verificar si con estos cumplen y seguir adelante obviando los otros a??). Analogamente hago lo mismo con \(5^3\)....

ES mas o menos asi?? encontrando q con solo un tipo de a divide, siguo adelante con ese solo???

Pará, \({a}^{25}-39\equiv 0(5)\iff {a}^{25}\equiv 39\equiv 4(5)\). Como \({a}^{25}\equiv {({a}^{5})}^{5}\equiv {a}^{5}\equiv a\). O sea,
\({a}^{25}-39\equiv 0(5)\iff a\equiv 4(5)\), que por hipótesis no es posible. O sea, o no veo qué cuenta hacés o yo estoy haciendo algo mal.
Independiente de eso, si fuera divisible, vas probando con las potencias de \(5\), aunque no creo que tomen algo por el estilo(creo no haber vistos muchos finales o parciales con esa situación). En caso de tomarlo, es un caso particular del Teorema de Fermat-Euler.
No se si te respondí o ayudé. Saludos.

Tenes razon vos, hice yo mal la cuenta....y siempre lo olvido a Fermat Euler...

Graciasssss