$$\textrm{Sea R la relacion en $A=:\lbrace 2,3,4,5,...,999,1000\rbrace$ definida por}$$
\(nRm\Leftrightarrow(n:m)\neq 1\).
(ii) \(\textrm{Determinar la cantidad de $m\in A$ que verifican que $12Rm$.}\)
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Tema
[Resuelto] Final 19/03/04 - Ejercicio 1, ítem (ii)
Una sugerencia:
\(12\eq=3\cdot {2}^{2}\). Para que se verifique \((12:n)\neq 1\) debe ocurrir que en la factorización de \(n\) aparezcan \(3\) o \(2\). O sea, tenés que contar los números divisibles por 3 o 2. Es un ejercicio de principio de inclusión-exclusión, donde:
$$A\eq=\{n\in A:3|n\}$$
$$B\eq=\{n\in A:2|n\}$$
y querés hallar el cardinal de \(A\cup B\).
Avisa si no se entiende. Saludos.
Firma
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
No solo se entiende sino q es "LA" sugerencia
graciasss
A mí se me ocurrió otra manera, es un poco más a lo bruto creo, pero te lo comento a modo de idea sin ser muy formal, hay que escribirlo mejor.
Yo lo que haría es pensar a la relación dada en el conjunto \(A \cup \{1\}\) que difiere en tan solo un elemento con A, Pero \((1:12)=1\) o sea, no está relacionado con 12, entonces no te jode, existen la misma cantidad de m's relacionados con 12.
Bueno sabés que tu \(\phi(12)=4\) donde me estoy refiriendo a la función de euler, que me devuelve la cantidad de números coprimos con 12, entre el 1 y 12 inclusive. Por lo tanto existen \(12-4=8\) números que NO son coprimos en el intervalo [1:12]
Se puede demostrar que si \((12:a) \neq 1\) entonces \((12:a+12k) \neq 1\), y que si \((12:a) = 1\) entonces \((12:a+12k) = 1\), eso por propiedades de congruencia y divisibilidad.
Tendría que contar cuántos grupos de 12 números tengo en 1000 números.
Luego \(1000=12*83+4\) o sea, tenes 83 grupos donde en cada uno de ellos tenés 8 que no son coprimos con 12.
Tenés que probar a mano los últimos 4 elementos del conjunto:
Luego
$$(997:12) = 1$$
$$(998:12) \neq 1$$
$$(999:12) \neq 1$$
$$(1000:12) \neq 1$$
Luego tenés 3 más que estarían relacionados con 12.
Entonces la respuesta sería que la cantidad de m es \(83*8+3=667\)
