$$\textrm{ De cuantas maneras se pueden ubicar 5 bolitas numeradas rojas y 10 bolitas numeradas verdes en 3 cajas distintas con la condicion de q en alguna caja haya al menos 3 bolitas rojas???}$$
Yo dije...
A = Todas las posibilidades : \(3^{5} \cdot 3^{10}\) con el razonamiento de q la \(B_{1R}\) puede ir a \(C_{1}, C_{2}, C_{3}\), la \(B_{2R}\) puede ir a lo mismo y asi para todas las rojas y todas las verdes
B= A lo sumo 2 rojas en todas las cajas : Las combinaciones de 5 rojas con esa condicion son \(221, 212, 122\). Elijo \(2\) rojas de \(5\). Me queda el \(\dbinom{2}{5}\). Elijo otras \(2\) de \(3\). Me queda \(\dbinom{2}{3}\). Finalmente me queda una roja- Me quedaron 3 subconjuntos q los puedo ordenar de \(3!\) formas distintas. Luego tengo \(\dbinom{2}{5}\cdot \dbinom{2}{3}\cdot \dbinom{1}{1}\cdot 3!\). Y a eso lo multiplico por todas las formas de poner las 10 verdes \((3^{10})\)
C= A lo sumo una ropja en cada caja: \(0\) porq tengo 3 cajas y cinco bolitas
Tambien pense esto... pero no da lo mismo que antes!
Elijo 3 bolitas rojas de 5, elijo la caja q las va a contener (1 de 3), y de las 2 bolitas q me quedan todas las formas de ponerlas en tres cajas distintas. Todo eso multiplicado por todas las formas de poner las 10 verdes. Todo eso da \(3^{10}\cdot \dbinom{5}{3}\cdot \dbinom{3}{1}\cdot 9\) q claramente no da lo mismo q mi resolucion anterior
Nunca fui bueno con combinatoria pero me parece que en la primer resolucion estas contando algunos casos de mas.
Fijate que no son numeros tan distintos los que te dieron!
Yo lo resolví así:
Hice bosones tomando las rojas y verdes como casos separados:
Las bolitas rojas.
Cada puntito ( . ) es una bolita y cada rayita ( | ) es la "divisón" entre caja y caja.
Tengo 5 rojas en tres cajas por ejemplo ..|.|..
En este ejemplo hay 2 bolitas en la primera caja, una bolita en la segunda caja y dos bolitas en la última caja. (el orden de las cajas no importa porque no son numeradas).
Nos piden que en una caja tiene que haber tres bolitas entonces de las 5 bolitas sólo nos vamos a ocupar de 2. Las otras tres no nos van a preocupar porque sabemos que tienen que estar fijas en alguna caja. No quedan 2 bolitas a repartir en 3 cajas como en estos ejemplos:
.||.
..||
|.|.
Si lo miramos bien son 4 elementos (2 palitos y 2 bolitas) así que hay que ver cuantas formas hay de poner dos elementos entre cuatro, osea hacer el combinatorio \(\binom{4}{2}\)
Pero ojo, nos dicen que las bolitas son numeradas. Entonces una vez que se cuantas formas hay de acomodarlas me pongo a ver cuantas maneras tengo de permutarlas entre si. Esto es bastante fácil, son 5 bolitas con los números del 1 al 5. Tengo 5! formas de permutarlas.
Entonces para las bolitas rojas me queda \(\binom{4}{2} \cdot 5!\)
Las bolitas verdes.
El proceso es parecido pero mas fácil porque aunque son mas elementos no tengo ninguna restricción.
Son 10 bolitas en tres cajas. Hago algunos ejemplos con bolitas y rayitas:
...|...|....
..|.......|.
..........||
Se ve entonces que son 12 elementos en total. Entonces veo cuantas formas hay de acomodar 10 elementos entre 12. Es el combinatorio \(\binom{12}{10}\).
Estas también son numeradas así que igual que con las rojas las permuto. Son 10 bolitas con los números del 1 a 10. Hay 10! maneras de permutarlas.
Para las bolitas verdes me queda \(\binom{12}{10} \cdot 10!\)
Ahora tengo que juntar las maneras de acomodar las rojas con las maneras de acomodar las verdes, entonces las multiplico. Me queda: \(\binom{4}{2} \cdot \binom{12}{10} \cdot 10! \cdot 5!\)
Listo!
Revisen a ver si está todo bien. Espero que les sirva.
Saludos.
Me da la impresión de que está mal.
El problema es que las bolitas son numeradas, eso hace que lo que haces al principio este mal, cuando intentas arreglarlo multiplicando por 5! en realidad no lo arreglas porque comenzas a repetir casos. Por ejemplo el caso en el que todas las rojas estan en la primer caja lo estas contando 5! veces.
\(3^{15} = 14348907\) y muchas de las respuestas que dieron eran mayor a este número. Quizás me estoy confundiendo con lo que yo considero 'casos totales', pero de ser cierto el numero esas respuestas no podrían ser validas ya que se le aplica una restricción y el numero deberia ser menor.
Yo lo pensé así:
Lo casos totales son
$$3^{15}$$
Entonces a estos casos les voy a restar todos los casos posibles en los que NO HAYA AL MENOS 3 BOLITAS ROJAS en alguna caja. Hay 3 formas de que pase esto, en todas las demas maneras siempre va a haber AL MENOS 3 bolitas rojas en algunas de las cajas. La forma es que haya 2 bolitas rojas en 2 de las cajas, y la bolita restante en la otra caja