1- Sea \(f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}\) una función biyectiva tal que:
$$f(n+1)\eq=f(n)+1,\forall n\in \mathbb{N}$$
Determinar \(f\)
2- Sea \(M\) el conjunto de todos los \(m\in \mathbb{N}\) tales que \({10}^{6}<m<{10}^{7}\), cada una de las cifras de \(m\) es \(2,5,6,8\) y \(m\) admite exactamente \(420\) permutaciones. Determinar el menor y mayor elemento de \(M\).
3- Sean \(a,b\in \mathbb{Z}\) y sea \(t\in \mathbb{N}\) un divisor común de \(a\) y \(b\)(no necesariamente el mcd). Determinar \((\frac{a}{t}:\frac{b}{t})\)
4- Representar gráficamente el conjunto de los \(z\in \mathbb{C}\) tales que \({z}^{3}\) es imaginario puro y \(z+\overline{z}\) es positivo.
5-Sea \(c\in \mathbb{R}\) y \(f\eq={X}^{3}+2{X}^{2}+cX+1\in \mathbb{R}[X]\).
Sabiendo que \(f\) tiene una raíz compleja no real \(z\) tal que \(\frac{1}{z}\) también es raíz de \(f\)
a) Probar que \(-1\) es raíz de \(f\)
b) Determinar todas las raíces de \(f\)
c) Factorizar \(f\) en \(\mathbb{R}[X]\) y \(\mathbb{C}[X]\)
El examen es cortesía de un amigo. Saludos.
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Despejando, queda \(f(n+1)\eq=f(1)+n\). Basta determinar \(f(1)\). Notemos que \(f\) es una biyección de los naturales, por hipótesis. Supongamos que \(f(1)\neq 1\iff f(1)\geq 2\). Luego, \(f(2)\eq=f(1)+1>2\). Como \(f\) es una sucesión creciente(\(f(n+1)-f(n)\eq=1>0\)), resulta que \(f(n)>2,\forall n\geq 2\). Luego \(f(1)\eq=2\) necesariamente, pero luego \(f(n)\neq 1,\forall n\). O sea, \(f\) no es una biyección, lo que es absurdo por hipótesis. Concluímos \(f(1)\eq=1\) y
\(f(n)\eq=n\)
4-
De \(z+\overline{z} >0\) se concluye que la parte real de \(z\) es positiva. De \({z}^{3}\) imaginario puro, se tiene que \(arg({z}^{3})\eq=\frac{\pi}{2}\) o \(arg({z}^{3})\eq=\frac{3\pi}{2}\). De acá se obtiene:
$$3arg(z)\eq=\frac{\pi}{2}+2k \pi$$
$$3arg(z)\eq=\frac{3\pi}{2}+2k \pi$$
quedando posibles valores \(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{6}\frac{3\pi}{2},\frac{11\pi}{6}\). Como \(Re(z)>0\), resulta \(0\leq arg(z)<\frac{\pi}{2}\) o \(\frac{3\pi}{2}<arg(z)<2\pi\). Estos datos determinan gráficamente al conjunto dado de números complejos
5-
a-Como \(-1\eq=a\cdot b\cdot c\), donde \(a,b,c\) son las raíces de \(f\)(\(1\) es el término independiente de \(f\)), resulta, como dos de las raíces son \(z\) y \(\frac{1}{z}\):
\(-1\eq=a\cdot z\cdot \frac{1}{z}\eq=a\). De acá que \(-1\) es raíz de \(f\).
b-Especializando en \(-1\), queda:
De acá, sacamos que \(f\eq={X}^{3}+2{X}^{2}+2X+1\). Observar:
\({X}^{3}+2{X}^{2}+2X+1\eq={X}^{3}+{X}^{2}+X+1+{X}^{2}+X\eq=(X+1)({X}^{2}+1)+X(X+1)\eq=(X+1)({X}^{2}+X+1)\).
Esta factorización es en \(\mathbb{R}[X]\) que se pide en la parte c). Creo que con lo que queda, ya sale todo.
Después posteo los dos que faltan. Nuevamente saludos.
Idea del 2: (No entiendo como puedo tirar ideas para finales y aún no logré aprobar el primer parcial 🙁 )
Sabemos que:
$$m\in\mathbb{N}$$
$$1000001 \leq m \leq 9999999$$
Luego las cifras pueden ser 2,5,6,8 y m tiene 420 permutaciones.
Miremos al 420 con cariño.... \(420 = 2^{2}*3*5*7\)
Por otro lado sabemos que m tiene 7 cifras, y si queremos calcular la cantidad de permutaciones entonces el número será \(\frac{7!}{a!b!c!d!}\) donde a,b,c,d son naturales que indican la cantidad de repeticiones de 2,5,6 y 8 respectivamente.
Luego si igualamos \(\frac{7!}{a!b!c!d!} = 420\) nos queda que \({a!b!c!d!} = 12 = 3*2*2\)
Evidentemente si queremos representar al 12 mediante factoriales la única posibilidad es \(3!2!1!1! = 12\)
**Conclusión, en cada \(m\) existen cuatro dígitos distintos entre sí de los cuales:
[*] Dos dígitos no están repetidos
[*] Uno de ellos se repite 3 veces
[*] Otro de ellos se repite 2 veces.**
Veamos cómo obtenemos el menor de estos \(m \in M\)
Es creíble decir que dado que estamos en el bendito sistema decimal bastaría con elegir cautelosamente los dígitos entre el 2,5,6 y 8, ordenándolos de menor a mayor de izquierda a derecha
Si no es claro podemos representar a nuestro m como lo que es, un número expresado en base 10.
Si este m es menor entre todos los m en M, entonces por lo menos \(a_{6}\) es menor a cualquier otro \(a_{6}\) que yo pueda elegir, \(a_{5}\) es menor a cualquier otro \(a_{6}\) que yo pueda elegir, ídem con los otros \(a_{i}\).
La única restricción es que debemos seguir la regla de elegir 3 dígitos repetidos, 2 dígitos repetidos, y otros 2 distintos entre sí y respecto de los demás. De manera tal de que \(m \in M\).
**Finalmente el número m más pequeño es 2225568.**
El procedimiento para el m mayor es análogo. Luego el m mayor es 8886652.
Es verificable que cada uno de ellos tiene 420 permutaciones y sólo tiene los dígitos que la consigna decía.
3- Sean \(a,b\in \mathbb{Z}\) y sea \(t\in \mathbb{N}\) un divisor común de \(a\) y \(b\)(no necesariamente el mcd). Determinar \((\frac{a}{t}:\frac{b}{t})\)
Puedo decir que \(t.(\frac{a}{t}:\frac{b}{t}) = (a:b)\) pues \(t \in \mathbb{N}\); y sé que \(\frac{(a:b)}{t} \in \mathbb{N}\) pues \(t\) es divisor común de \(a\) y de \(b\).
4-
De \(z+\overline{z} >0\) se concluye que la parte real de \(z\) es positiva. De \({z}^{3}\) imaginario puro, se tiene que \(arg({z}^{3})\eq=\frac{\pi}{2}\) o \(arg({z}^{3})\eq=\frac{3\pi}{2}\). De acá se obtiene:
$$3arg(z)\eq=\frac{\pi}{2}+2k \pi$$
$$3arg(z)\eq=\frac{3\pi}{2}+2k \pi$$
quedando posibles valores \(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{6}\frac{3\pi}{2},\frac{11\pi}{6}\). Como \(Re(z)>0\), resulta \(0\leq arg(z)<\frac{\pi}{2}\) o \(\frac{3\pi}{2}<arg(z)<2\pi\). Estos datos determinan gráficamente al conjunto dado de números complejos
En realidad, lo que ocurrirá es que sólo los valores de \(arg(z)\) correspondientes a \(\frac{\pi}{6}\) y \(\frac{11\pi}{6}\) cumplen ambas desigualdades. Entonces el gráfico serían dos semirectas simétricas, ambas partiendo desde el origen y de longitud indefinida; la primera con una inclinación de \(\frac{\pi}{6}\) y la segunda con inclinación de \(\frac{11\pi}{6}\) según las coordenadas polares.
5-
a-Como \(-1\eq=a\cdot b\cdot c\), donde \(a,b,c\) son las raíces de \(f\)(\(1\) es el término independiente de \(f\)), resulta, como dos de las raíces son \(z\) y \(\frac{1}{z}\):
\(-1\eq=a\cdot z\cdot \frac{1}{z}\eq=a\). De acá que \(-1\) es raíz de \(f\).
b-Especializando en \(-1\), queda:
De acá, sacamos que \(f\eq={X}^{3}+2{X}^{2}+2X+1\). Observar:
\({X}^{3}+2{X}^{2}+2X+1\eq={X}^{3}+{X}^{2}+X+1+{X}^{2}+X\eq=(X+1)({X}^{2}+1)+X(X+1)\eq=(X+1)({X}^{2}+X+1)\).
Esta factorización es en \(\mathbb{R}[X]\) que se pide en la parte c). Creo que con lo que queda, ya sale todo.
Para completar:
Teníamos que \(x^3 + 2x^2 + 2x + 1 = (x + 1)(x^2 + x +1)\). Con la fórmula para obtener raíces de polinomios de grado 2 tenemos que las raíces de \(x^2 + x +1\) son \(x_2 = \frac{- 1 + \sqrt{3}i}{2}, x_3 = \frac{- 1 - \sqrt{3}i}{2}\). Estas son las raíces \(z\) y \(\frac{1}{z}\) de las que habla el enunciado. Es fácil comprobar que una es el inverso de la otra: \(\left(\frac{- 1 + \sqrt{3}i}{2}\right)^{-1} =\frac{2}{- 1 + \sqrt{3}i} = \frac{2}{- 1 + \sqrt{3}i} . \frac{-1 -\sqrt{3}i}{-1 -\sqrt{3}i} = \frac{- 1 - \sqrt{3}i}{2}\)
Luego las raíces del polinomio \(f\) son \(x_1 = -1, x_2 = \frac{- 1 + \sqrt{3}i}{2}, x_3 = \frac{- 1 - \sqrt{3}i}{2}\).
La factorización en \(\mathbb{R}[X]\) es \((x + 1)(x^2 + x +1)\), y en \(\mathbb{C}[X]\) es \((x + 1) (x - \frac{- 1 + \sqrt{3}i}{2}) (x - \frac{- 1 - \sqrt{3}i}{2})\).
3- Sean \(a,b\in \mathbb{Z}\) y sea \(t\in \mathbb{N}\) un divisor común de \(a\) y \(b\)(no necesariamente el mcd). Determinar \((\frac{a}{t}:\frac{b}{t})\)
Puedo decir que \(t.(\frac{a}{t}:\frac{b}{t}) = (a:b)\) pues \(t \in \mathbb{N}\); y sé que \(\frac{(a:b)}{t} \in \mathbb{N}\) pues \(t\) es divisor común de \(a\) y de \(b\).
La tengo que haber pifiado en algo...
Me dice Quimey que esto está bien, pero que se hizo muy fácil porque uso una propiedad muy fuerte, que es la siguiente:
Sean \(a,b \in \mathbb{Z}\) y sea \(t \in \mathbb{N} \Rightarrow t.(a:b) = (t.a:t.b)\).
Paso a demostrarla: Sean \(a,b \in \mathbb{Z}\) y sea \(t \in \mathbb{N}\). Quiero ver que \(t.(a:b) = (t.a:t.b)\). Para eso, primero probaré que \(t.(a:b) \leq (t.a:t.b)\) y luego que \(t.(a:b) \geq (t.a:t.b)\).
Sé que \((a:b)|a \Leftrightarrow a \equiv 0 ((a:b)) \Rightarrow t.a \equiv 0 (t.(a:b)) \Rightarrow t.(a:b)|t.a\). Análogamente, puedo mostrar que \(t.(a:b)|t.b\). Entonces \(t.(a:b)| r.t.a + s.t.b \, \, \forall r,s \in \mathbb{Z}\).
Sabemos que \((t.a:t.b)\) puede escribirse como combinación lineal entera de \(t.a\) y \(t.b\), es decir, \((t.a:t.b) = u.t.a + v.t.b\) con \(u,v \in \mathbb{Z}\). Entonces, si tomamos \(r=u, s=v\) en la ecuación al final del párrafo anterior, tenemos que \(t.(a:b)|u.t.a + v.t.b = (t.a:t.b)\). Como \(t, (a:b), (t.a:t.b) \in \mathbb{N} \Rightarrow t.(a:b)\leq (t.a:t.b)\).
Vamos ahora a mostrar que se cumple la otra desigualdad. Veamos que \(t.(a:b) = t.(k.a + j.b) = t.k.a + t.j.b\) para algún par de \(k,j \in \mathbb{Z}\). Por otro lado, sabemos que \((t.a:t.b)|t.a \wedge (t.a:t.b)|t.b \Rightarrow (t.a:t.b)|k.t.a \wedge (t.a:t.b)|j.t.b\) \(\Rightarrow (t.a:t.b)|k.t.a + j.t.b = t.(a:b)\). Luego, como \((t.a:t.b),t,(a:b)\in \mathbb{N}\), se cumple que \((t.a:t.b) \leq t.(a:b)\).
En conclusión, hemos demostrado que \(t.(a:b) = (t.a:t.b)\).
