Determinar todos los \(n \in \mathbb{N}\) para los cuales el polinomio \(x^n -11x+10\) admite una raiz multiple.Para cada valor hallado, determinar la cantidad de raices distintas y su multiplicidad
Yo pense algo aunq no lo resolvi
O bien puedo derivar y buscar las raices de lderivado (q son horribles), o buscar el mcd entre el polinomio y el derivado (q es horrible) o buscar q \(x^n -11x+10 \equiv 0 (nx^{n-1}-11)\) sabiendo q \(n\cdot x^{n-1} \equiv 11 (n\cdot x^{n-1}-11)\) q me parecio lo mas potable...haciendo esto ultimo no llego a algo muy lindo....hay algun otro camino??
Si querés que admita una raíz múltiple, necesitás que esa raíz sea también raíz del polinomio derivado. Para no cambiar letras, sea esa \(z\) indicada raíz de \(f\). Entonces:
Volvés para atrás y reemplazás:
(1)\({z}^{n-1}\eq=\frac{{10}^{n-1}}{{11}^{n-1}}\cdot \frac{{n}^{n-1}}{{(n-1)}^{n-1}}\eq=\frac{11}{n}\)
Despejando un poco más llegás ahora a:
Esto último ya dice bastante. Notá que \((n-1:n)\eq=1\), luego \(({(n-1)}^{n-1}:{n}^{n})\eq=1\). Como la igualdad es con \({11}^{n}\), un número entero, debe cumplirse \(\frac{{10}^{n-1}\cdot {n}^{n}}{{(n-1)}^{n-1}}\) sea entero, o sea, \({(n-1)}^{n-1}|{10}^{n-1}\cdot {n}^{n}\). Por valer \(({(n-1)}^{n-1}:{n}^{n})\eq=1\), deducís que \({(n-1)}^{n-1}|{10}^{n-1}\)(estás usando que si \(a|b\cdot c\) y \((a:c)\eq=1\) entonces \(a|b\)).
Ahora, \({(n-1)}^{n-1}|{10}^{n-1}\iff n-1|10\). De acá sacás valores de \(n\) que luego deben satisfacer (1). \(2,6,11\) son todos, pero podés verificar fácilmente que el único que satisface lo que se pide es \(n\eq=11\).
Ahora solo te basta estudiar \({X}^{11}-11X+10\).
Espero que sirva. Saludos.
Firma
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities