Va otro final.
Saludos.
Tema
[No Resuelto] Final 20/05/04
Del \(1)\) no entiendo muy bien la relacion... \(n\Rem \Longleftrightarrow n \; m\) es un cuadrado... quiere decir si \(n\) y \(m\) son cuadrado (por ejemplo 9 y 16) o que \(n\cdot m\) es un cuadrado (ejemplo \(3\cdot 3\)
\(4)\) [Resuelto] Examen Final(20/05/04) ejercicio 4
$$2)$$
\($*) Analizo $p = 2$, resulta\)
$$15 + 205 \; {\equiv}_{(4)} \; 3 + 1 \; {\equiv}_{(4)} \; 4 \; \equiv \; 0 \; (4)$$
$$$Entonces vemos que $\underline{p = 2}$ sirve.$$$
$$$Analizamos congruencia modulos coprimos, suponemos entonces $p \neq 2$$$
$$\begin{Bmatrix} {15}^{p - 1} + 205 \equiv 0 (2) \implies {1}^{p - 1} + 1 \equiv 2 \equiv 0 (2) \\ {15}^{p - 1} + 205 \equiv 0 (p) \end{matrix}$$
$$$Ahora analizo los $p$ tales que $p \vert 15$, digamos entonces $ p=\lbrace 3, 5 \rbrace$ para luego poder usar el PTF$$
$$\bullet$ Si $ p = 3$$
$${15}^{2} + 205 \equiv 205 \equiv 1 (3)$. Entonces $p \neq 3$$
$$\bullet$ Si $ p = 5$$
$${15}^{4} + 205 \equiv 205 \equiv 0 (5)$. Entonces $\underline{p = 5}$ sirve.$$
$$$Ahora restan los $p$ tales que $p \perp 3$ y $p \perp 5$. Ahora como $ p \perp 15$, podemos usar el PTF$$
$${15}^{p - 1} + 205 \equiv 1 + 205 \equiv 206 (p)$$
$$$Entonces $p \mid 206 = 2\cdot 103$ como $p \neq 2 \implies p = 103$$
\($Entonces la solucion es $p = \lbrace 2, 5, 103 \rbrace\)
\(3)\)\($Probamos por Induccion en $n\) Y nose demostrar el paso inductivo... algun solidario?
\(\underline{Base de la Induccion:} \; P(3) $ es V ?$\)
$$P(3) \Rightarrow {a}^{4} \mid {X}_{3} = a{X}_{2} + 5{{X}_{1}}^{2}$$
$${a}^{4} \mid 3{a}^{4} + 5{a}^{4} = 8{a}^{4} $ como $ {a}^{4} \mid {a}^{4} \Rightarrow {a}^{4} \mid 8{a}^{4} \Rightarrow P(3)$ es verdadera$$$
$$\underline{Paso Inductivo:} \; P(n) \Rightarrow P(n + 1)$$
$$$Nuestra Hipotesis Inductiva \rightarrow {a}^{n + 1} \mid {X}_{n}$$
\($Qvq $ {a}^{n + 2} \mid {x}_{n + 1} = a{X}_{n} + 5{{X}_{n - 1}}^{2}\)
$$5)$$
\($Llamamos $f = n{X}^{n + 1} + (n + 1){X}^{n} + 1$. Y tenemo que ver la multiplicidad de $(X + 1)\)
$$$Vemos congruencia modulo $(X + 1)$. Tenemos que X + 1 \equiv 0 (X + 1) \implies X \equiv - 1 (X + 1)$$
$$n{X}^{n + 1} + (n + 1){X}^{n} + 1 \equiv n{(-1)}^{n + 1} + (n + 1){(-1)}^{n} + 1 \equiv 0 (X + 1) \Longleftrightarrow n$ es impar$$$
$$f' = n(n + 1){X}^{n} + (n + 1)n{X}^{n - 1} \equiv n(n + 1){(-1)}^{n} + (n + 1)n{(-1)}^{n - 1} \equiv 0 (X + 1)$$
\(f'' = {n}^{2}(n + 1){X}^{n - 1} + (n + 1)n(n - 1){X}^{n - 2} \equiv {n}^{2}(n + 1){(-1)}^{n - 1} + (n + 1)n(n - 1){(-1)}^{n - 2} \not \equiv 0 (X + 1)\)
Entonces \(-1\) es raiz de \(f\) si y solo si \(n\) es impar. Y \(-1\) es raiz de \(f\) con multplicidad igual a 2?
Esta bien asi? Falta ver algo mas?
Editado 1 vez.
El 2 está bien. Pero si puede ser p=2 Fijate que 2 siempre divide a lo de la derecha. Entonces "es como que te olvidas del 2". Entonces puede ser p=2 pues como dije 2 siempre divide 😛 y 4 tambien... pues \(15\equiv 3(4)\) y \(205\equiv 1(4)\)
Además hice un algoritmo que me pruebe los posibles primos xD y me tiró esos 3 😄
Saludos...
Firma
"What we observe is not nature itself, but nature exposed to our method of questioning..."
Werner Heisenberg
La opcion correcta para el 1) es la segunda que planteaste...
Firma
Quimey
Kill, corregido el 2.
Quimey, va el intento del primero.
Reflexividad:
\(a \Re a \;\; \forall a \in A\) \($. Luego, $a \cdot a = {a}^{2}\)
Simetria:
\(a \Re b \implies b \Re a \;\; \forall a,\;b \in A\) \($. Luego, $ a \Re b \iff a \cdot b = t = b \cdot a \implies b \Re a\)
$$$con $t$ un cuadrado$$$
Transitividad:
$$a \Re b \land b \Re c \implies a \Re c \;\; \forall \; a, b, c \in A$$
$$(1) a \Re b \implies a \cdot b = t$, con $t$ un cuadrado. Entonces las potencias de $a$ tienen la misma paridad que las potencias $b$$$
$$(2) b \Re c \implies b \cdot c = s$, con $s$ un cuadrado. Entonces, tenemos que las potencias de $b$ tienen la misma paridad que las potencias de $c$$
$$$Multiplicando (1) con (2)$$$
$$a \cdot b \cdot b \cdot c = t \cdot s$$
\(a \cdot c = \frac{t \cdot s}{{b}^{2}}\) \($. Como s y t tienen a m en su factorizacion entonces $ \frac{t \cdot s}{{b}^{2}} = z \in \mathbb{N}\)
$$z$ es un cuadrado porque los factores de $a$ y $c$ tienen la misma paridad$$
\($Luego $a \cdot c = z \implies a \Re c\)
Lo que ahí probaste es que \(\frac{t.s}{{b}^{2}}\) es un entero pero no que es un cuadrado en los Naturales (para convencerte fijate que \(1.3= 3= { (\sqrt[]{3}) }^{2}\), que es un cuadrado, pero no en \(\mathbb{N}\)).
Sean \(t={x}^{2} \textrm{ y } s={y}^{2}\)
Entonces \(\frac{t.s}{{b}^{2}}=\frac{{x}^{2}.{y}^{2}}{{b}^{2}}={\left(\frac{x.y}{b}\left)}^{2}\)
Lo que habría que probar es que \(b \vert x.y\) para ver que es un cuadrado en \(\mathbb{N}\) . Ahí es donde me trabé.
Bueno pero supongo que...
$$$Como $b$ pertenece en la factorizacion de x o de y... en uno de los dos esta... entonces b \mid x \lor b \mid y \implies b \mid x \cdot y$$
Sera algo asi?
Quizá entendí mal el concepto de cuadrado en los naturales, y la resolución sería tal cual la hiciste vos antes de mi comentario. De cualquiera manera estaría bueno discutir un poco, sobre todo estando cerca las fecha de finales.
No se a mi tambien me resulta "dudosa" esa parte de la demostracion...
Para responderte tu pregunta anterior se me ocurrio eso... lo cual no quiere
decir que sea totalmente cierto y valido lo que yo plantee.
Veremos a ver si alguien tiene la posta!!