Dejo un nuevo final
Saludos.
Tema
[No Resuelto] Final 23/12/02
Puede ser que el \(1)\) de \({2}^{7}\) ???
El \(3)\) me quedo algo extraño. El polinomio era \({X}^{7} - {X}^{4} + a{X}^{3} - 2\) el valor para \(a\) que me quedo
fue \(a = 2\) y despues al factorizar me quedo \(({X}^{2} + X + 1)({X}^{4} + 2)(X - 1)\)
puede ser esto? Ya que no se que hacer con \(({X}^{4} + 2)\).
El primer factor y el ultimo son las 3 raices cubicas de la unidad.
El \(4)\) si considero que a es coprimo con 3, 5 y 7 me quedo que \(a \equiv 99 (105)\) faltarian ver los otros casos no? cuando 3, 5 o 7 dividen a \(a\). Con lo cual no quedarian 4 posibles restos de \(a\) no?
El \(5)\)
\(\underline{Base de la Induccion:}\)
$${f}_{1} = {({X}^{2} - 1)}^{2} \implies {f}_{1}(1) = 0$$
$${{f}_{1}}^{'} = 2({X}^{2} - 1) 2X \implies {{f}_{1}}^{'}(1) = 0$$
$${{f}_{1}}^{''} = 12{X}^{2} - 4 \implies {{f}_{1}}^{''}(1) \neq 0$$
$$$Entonces $P(1)$ es V$$$
$$\underline{Paso Inductivo:} P(n) \implies P(n + 1)$$
$$$Hipotesis Inductica" = {f}_{n}(1) = 0 \land {{f}_{n}}^{'} = 0 \land {{f}_{n}}^{''} \neq 0$$
$${f}_{n + 1} = ({X}^{2} - 1){{f}_{n}}^{'} - X{f}_{n} \implies {f}_{n + 1}(1) = 0$$
$${{f}_{n + 1}}^{'} = 2X{{f}_{n}}^{'} + ({X}^{2} - 1){{f}_{n}}^{''} - {f}_{n} - X{{f}_{n}}^{'} \implies {{f}_{n + 1}}^{'}(1) = 0$$
\({{f}_{n + 1}}^{''} = 2{{f}_{n}}^{'} + 2X{{f}_{n}}^{''} + 2X{{f}_{n}}^{''} + ({X}^{2} - 1){{f}_{n}}^{'''} - {{f}_{n}}^{'} - {{f}_{n}}^{'} - X{{f}_{n}}^{''} \implies {{f}_{n + 1}}^{''}(1) \neq 0\)
Podra ser?
Para el \(4)\) llegué a algo copado pero suponiendo \(a\perp 7\)
\(105=3\cdot{5}\cdot{7}\)
Luego veo las congruencias módulo cada uno de esos primos:
Módulo 3:
$$6a^{13}+7a^{5}+4^{132}\equiv_{(3)} a^{5}+4^{132}\equiv_{(3)} a^{5}+1\Rightarrow a\equiv_{(3)}0$$
Pues \(4\equiv_{(3)}1\) y \(28\equiv_{(3)}1\)
Módulo 5:
$$6a^{13}+7a^{5}+4^{132}\equiv_{(5)} a^{13}+2a^{5}+1\equiv_{(5)} a^{5}\cdot{a^{5}}\cdot{a^{3}}+2a^{5}\Rightarrow a\equiv_{(5)}3a\equiv_{(5)}1\Rightarrow a\equiv_{(5)}2$$
Pues: Por PTF \(a^{5}\equiv a(5)\) y \(4\equiv_{(5)}-1\Rightarrow 4^{132}\equiv_{(5)} (-1)^{132}=1\)
Módulo 7:
$$6a^{13}+7a^{5}+4^{132}\equiv_{(7)}6a^{13}+4^{132}\equiv_{(7)}a^{13}+6\Rightarrow a^{13}\equiv_{(7)}1\Rightarrow a\equiv 1(7)$$
Esto último si \(a\perp 7\)
Ahora queda a resolver:
$$\begin{Bmatrix}a\equiv 0(3)\\a\equiv 2(5)\\a\equiv 1(7)\end{matrix}$$
Una solución particular es \(a=57\)
Luego queda: \(a\equiv 57(105)\)
Solo faltaria ver que onda si a no es coprimo con 7...
EDIT: Me di cuenta que no hace falta lo de coprimo con 7:
\(a^{13}=a^{7}a^{6}\equiv_{(7)}aa^{6}=a^{7}\equiv_{(7)}a\equiv 1(7)\) por PTF
Si flashee mal como suele pasarme a veces, por favor haganmelo notar.
Saludos...
Firma
"What we observe is not nature itself, but nature exposed to our method of questioning..."
Werner Heisenberg
El 1:
me parece que da 1
El 3:
Parece estar bien, el polinomio con el que te trabaste es facil de factorizar.
Hint:
Pensa en raices cuartas de -2
Firma
Quimey
Para el segundo tenias razon... solo que cuando lo hice en borrador me habia quedado un numero horrible
y lo descontinue... aca va el polinomio factorizado en \(\mathbb{C}[X]\)
\(({X}^{2} + X + 1)(X - 1)({X}^{4} + 2) =\)
\((X - 1)(X - (- \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt[]{3}}{2}) )(X - (-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt[]{3}}{2}) )(X - (\frac{\sqrt[4]{8}}{2} + i\frac{\sqrt[4]{8}}{2}) )(X - (\frac{\sqrt[4]{8}}{2} - i\frac{\sqrt[4]{8}}{2}) )(X - (-\frac{\sqrt[4]{8}}{2} + i\frac{\sqrt[4]{8}}{2}) )(X - (-\frac{\sqrt[4]{8}}{2} - i\frac{\sqrt[4]{8}}{2}) )\)
Me retracto totalmente con el 1 (Que lo borro para no confundir)...
pero igual no logro entender como contar... porque por como lo veo
me parece que ninguna funcion cumple lo pedido...
porque suponiendo que elijo
$$f(1) = 9 \equiv 1 (8)$$
$$f(2) = 10 \equiv 2 (8)$$
.
.
$$f(7) = 15 \equiv 7 (8)$$
Pero desde aca ya no cumple si aplico congruencia.
$$f(8) = 16 \equiv 0 (8)$$
\(f(9) = 1 \equiv 1 (8)\), puedo tambien decir que es \(\equiv 9 (8)\), pero es esta la idea...?
En ese caso habria 2 posibilidades, la anterior y la siguiente
$$f(1) = 1 \equiv 1 (8)$$
$$f(2) = 2 \equiv 2 (8)$$
.
.
$$f(15) = 15 \equiv 15 (8)$$
$$f(16) = 16 \equiv 16 (8)$$
Porque solo hay dos posibilidades de que por ejemplo \(f(1) \equiv 1 (8)\) y esta es que \(f(1) = 1 \lor f(1) = 9\)
Sugerencias?
El 1 no da 2^8?
Firma
Even diamonds start as coal...