Va otro.
Saludos.
Tema
[No Resuelto] Final 20/02/04
Para el \(4)\)
\($Factorice el polinomio y me quedo $(X - \sqrt{5})(X + \sqrt{5})(X - i\sqrt{2})(X + i\sqrt{2})\)
$$$Y como el valor representa el modulo de un complejo solo sirve $\vert z \vert = \sqrt{5}$$
$$$Luego respecto al argumento tenemos que $$$
$$Arg({z}^{3}) = \frac{3\pi}{2}$$
$$3Arg(z) - 2k\pi = \frac{3\pi}{2}$$
\(Arg(z) = \frac{3\pi + 4k\pi}{6}$, con 0 \leq k < 3\)
Para el \(5)\)
Mirando me parece que es \({f}_{n} = {\((X + 1)(X + 1)(X - 1)\)}^{(n - 1)!\) pero nose como demostrar.
Alguna sugerencia?
El \(3)\)
\($Usando el Teorema Chino del Resto, vemos que$\)
$$\begin{Bmatrix} 7n - \equiv 0 (30) \\ 10n - 6 \equiv 0 (24) \end{matrix}$$
$$$Separando en modulos coprimos$$$
$$\textrm{\begin{Bmatrix} n \equiv 1 (2) \\ n \equiv 4 (5) \\ n \equiv 0 (3) \\ 2n \equiv 6 (8) \\ n \equiv 0 (3) \end{matrix} \Longleftrightarrow \begin{Bmatrix} n \equiv 4 (5) \\ 2n \equiv 6 (8) \\ n \equiv 0 (3) \end{matrix} \Longleftrightarrow \begin{Bmatrix} n \equiv 4 (5) \\ n \equiv 3 (4) \\ n \equiv 0 (3) \end{matrix} \Longleftrightarrow \begin{Bmatrix} n \equiv 19 (20) \\ n \equiv 0 (3) \end{matrix} \Longleftrightarrow n \equiv 39 (60)$}$$
\($Para $ 2n \equiv 6 (8)$ use que $2n = 8k + 6 \implies n = 4k + 3 \Longleftrightarrow n \equiv 3 (4) $\)
Es correcto esto? O tengo que hacer algun paso mas?
Para el \(1)i)\)
Por simplicidad supongamos que \(a\) es par y que \(b\) es impar. El caso contrario es análogo.
Entonces si pretendemos de alguna manera que \(8|a^{2}+7b^{2}\) entonces tenemos que pedir que \(2|a^{2}+7b^{2}\)
Veamos que esto no puede ocurrir ni a palos:
Por el corolario del Pequeño Teorema de Fermat (o por el Teorema en si, depende como se enuncie)
\(a^{2}\equiv a (2)\) (en realidad sabemos que es congruente a 0 porque fue supuesto par)
$$7b^{2}\equiv b(2)$$
$$7\equiv 1(2)$$
Luego
$$a^{2}+7b^{2}\equiv a+b (2)$$
y como a y b fueron supuestos de distinta paridad, \(a+b\equiv 1(2) \Rightarrow 2\nmid a^{2}+7b^{2}\Rightarrow 8\nmid a^{2}+7b^{2}\)
Por lo tanto \(a\) no se relaciona con \(b\)
Va la segunda... \(ii)\)
Reflexividad:
Supongamos \(a\) par pues si a fuera impar, nos queda ver que \(8|a^{2}+7a^{2}=8a^{2}\) y listo.
Debemos ver que \(8|a^{2}+a^{2}=2a^{2}\)
Como \(a\) es par, \(2\) aparece al menos \(1\) vez en su factorizacion. Por lo tanto, en la factorizacion de \(2a^{2}\) tendremos tres \(2\). Luego \(a=8\cdot{q}\;\ q\in \mathbb{Z}\)
Simetria:
Si \(a\) y \(b\) son pares, listo... (conmutatividad)
Si \(a\) y \(b\) son impares es más interesante. Sabemos que \(8|a^{2}+7b^{2}\) y queremos ver que \(8|7a^{2}+b^{2}\)
Como \(8|a^{2}+7b^{2}\) entonces \(a^{2}+7b^{2}\equiv 0(8) \Rightarrow a^{2}-b^{2}\equiv 0(8)\) Pues \(7\equiv -1(8)\)
Luego \(a^{2}\equiv b^{2}(8) \Rightarrow 7a^{2}\equiv_{(8)} 7b^{2} \equiv_{(8)}-b^{2} \Leftrightarrow 8|7a^{2}+b^{2}\)
Transitividad:
\(8|a^{2}+b^{2}\) y \(8|b^{2}+c^{2}\)
Luego \(8|a^{2}+b^{2}-(b^{2}+c^{2})=a^{2}-c^{2}\)
Esto es, \(a^{2}\equiv c^{2}(8)\)
Sumando \(c^{2}\) en ambos terminos de la congruencia:
a\(^{2}+c^{2}\equiv_{(8)}2c^{2}\equiv_{(8)}0\) Por lo discutido en la Reflexividad.
Solo resta ver cuando ambos son impares:
$$8|a^{2}+7b^{2}$$
$$8|b^{2}+7c^{2}$$
Entonces:
$$8|a^{2}-49c^{2}$$
$$a^{2}\equiv_{(8)} c^{2} \Rightarrow -a^{2}\equiv_{(8)}7c^{2}$$
Luego \(8|a^{2}+7c^{2}\)
Firma
"What we observe is not nature itself, but nature exposed to our method of questioning..."
Werner Heisenberg
Editado 1 vez.
Para el \(1)\)
\($(i) Tomamos $a = 2k$ par, y $b = 2k + 1\)
$$$Vemos que $ 8 \mid {a}^{2} + {b}^{2} = {2k}^{2} + {(2k + 1)}^{2} = 4{k}^{2} + 4{k}^{2} + 4k + 1$$
$$$Tenemos entonces que $ 8 \mid 8{k}^{2} + 4k + 1$$
$$$Pero vemos que esto no puede ser. Es la suma 2 numeros pares y un impar, lo que resulta un numero impar. Los cuales no son divisibles por $ 8$$
$$(ii)$$
$$\underline{Reflexiva:}$$
$$a \Re a$$
$$8 \mid {a}^{2} + \;{a}^{2} \Longleftrightarrow 8 \mid 2{a}^{2} = 8{k}^{2} \surd$$
$$8 \mid {a}^{2} + 7{a}^{2} \Longleftrightarrow 8 \mid 8{a}^{2} \surd$$
$$\underline{Simetria:}$$
$$a \Re b \implies b \Re a$$
$$a \Re b \implies 8 \mid {a}^{2} + \;{b}^{2} = {b}^{2} + {a}^{2} \implies b \Re a \surd$$
La otra parte no me sale...
$$\underline{Transitiva:}$$
$$a \Re b$ y $b \Re c \implies a \Re c$$
$$8 \mid {a}^{2} + {b}^{2}$ y $ 8 \mid {b}^{2} + {c}^{2} \implies 8 \mid 2{a}^{2} - {c}^{2} \surd$$
$$8 \mid {a}^{2} + 7{b}^{2}$ y $ 8 \mid {b}^{2} + 7{c}^{2} \implies 8 \mid {a}^{2} + 8{b}^{2} + 7{c}^{2}$ y como $ 8{b}^{2} \equiv 0 (8)$ entonces $ 8 \mid {a}^{2} + 7{c}^{2} \implies a \Re c \surd$$
Para el \((iii)\)
$$$la clase del $\overline{0}$ puede ser solo el cero??$$$
$$$la clase del $\overline{1}$ todos los impares??$$$
\($la clase del $\overline{2}$ todos los pares??$\)
$$iii)$$
La del \(0\) habria que pensar que onda. La del \(1\) está bien. La del 2 sale con \(b=2\cdot{k}\) con \(k\) impar o \(b=2(2q+1)\)
Chicos, para el 2 les queda esto?
(a:b) = 2^{4}
No estoy muy segura 😐
Firma
Even diamonds start as coal...
A mí el 2 me está rompiendo la cabeza, ¿alguien puede postear alguna resolución?
Para el ejercicio 3 me quedo que sirven los n congruentes a 39 modulo 120 y los n congruentes a 49 modulo 120
a alguien le quedo igual?
Alguien tiene alguna idea para el dos?
Le di algunas vueltas y llegue a que b es congruente a 1 mod(72) pero no se para que me puede servir eso.
Saludos
Firma
Farfalla ! Farfalla Vendetta !
Para el problema 2:
Sea \(d\) el máximo común divisor entre \(a\) y \(b\).
La primera condición nos dice que \(a = qb + 24\), luego, como \(d\) divide a \(a\) y a \(b\), también divide a \(24\).
La segunda condición nos dice que \(3b = 72k + 48\), dividiendo todo por \(3\) nos queda \(b = 24k + 16\). Como \(d\) divide a \(b\) y también divide a \(24\), tenemos que \(d\) divide a \(16\).
Como \(d\) divide a \(16\) y a \(24\), divide a su diferencia, que es \(8\).
Y efectivamente tanto \(a\) como \(b\) son múltiplos de \(8\), porque \(b = 8(3k+2)\), y \(a = qb + 24 = 8(q(3k+2)+3)\). Entonces la respuesta es \(d=8\).
En realidad lo que hice es bastante parecido a la idea del algoritmo de Euclides.