Pido perdón de antemano por la boludez que voy a preguntar...
Supongamos que tenemos la siguiente congruencia:
$$10\equiv90(40)$$
reescribiéndola:
$$2.5\equiv90(40)$$
Ahora bien, puedo "pasar el 2 dividiendo" para el otro lado y me queda:
$$5\equiv\frac{90}{2}(40)$$
$$5\equiv45(40)$$
Cosa que es cierta porque \(40|45-5\)
PERO, no puedo pasar el 5 diviendo, porque me queda:
$$2\equiv\frac{90}{5}(40)$$
\(2\equiv18(40)\), ABS pq 40 no divide a 16.
La pregunta del millón entonces sería, si tengo \(a.b\equiv c(m)\) \(\Longrightarrow\) \(a\equiv\frac{c}{b}(m)\)
cuando vale la implicación? Porque evidentemente no es suficiente que \(b|c\), sinó que también se tiene que cumplir algo más.
Lo que tenes que pedirle es que el número que "pasas dividiendo" tiene que ser coprimo con el módulo \(m\), fijate que eso quiere decir que sea inversible modulo \(m\)
fijate en este post Consulta:multiplicación por inverso modular
Solo podes pasar dividiendo si b y m son coprimos. Esto es largo como para explicarlo por aca, pero te recomiendo que intentes escribirlo de otra forma sin pasar dividiendo porque no tiene mucho sentido.
Lo que tenes que pedirle es que el número que "pasas dividiendo" tiene que ser coprimo con el módulo \(m\), fijate que eso quiere decir que sea inversible modulo \(m\)
fijate en este post Consulta:multiplicación por inverso modular
Pero fijate que en mi ejemplo pude "pasar" el 2, y \(( 2 : 40 ) = 2\) es decir, no son coprimos!
Ahora chequeo el link.
Quizás a veces va a tener sentido, pero la onda es que no implica que sea correcto. O sea, \((p \Rightarrow q) \nRightarrow (\lnot p \Rightarrow \lnot q)\). Si pasás dividiendo cuando son coprimos, va a estar bien. Si pasás dividiendo cuando no sean coprimos, quizás te quede bien de casualidad (no sé, no probé en cuales casos pasa esto), pero tu razonamiento será inválido, y de casualidad habrás llegado al resultado correcto.
El "pasar dividiendo" ahí lo podés ver como:
$$a \equiv b \pmod{c} \iff c \mid a-b$$
Entonces vos preguntás si \(a = \alpha \beta\), entonces \(c \mid \alpha \beta - b \Rightarrow c \mid \alpha - \frac{b}{\beta}\). Ahora, si \(c \mid \beta(\alpha - \frac{b}{\beta})\) y \((\beta: c) = 1\), entonces es claro que esto implica que \(c \mid \alpha - \frac{b}{\beta}\) si son todos enteros. Pero si no son coprimos, no podés garantizar esto, porque el que \(a \mid xy\) no implica que \(a \mid y\), a menos que \((a:x) = 1\).
Espero no haber confundido más. Si pasó esto, pretendé que mi post fue la palabra "Mandarina" repetida muchas veces e ignoralo.
Firma
Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.
Ya se que es viejo, pero como nadie lo mencionó lo agrego.
Acordate que, cuando vos por ejemplo "pasaste dividiendo el 2" en realidad lo que estas haciendo es dividir por 2 de ambos lados. En estos casos, cuando no son coprimos, lo que haces es dividir los 3 términos por 2.
$$2.5\equiv90(40)$$
$$5\equiv 45 (20)$$
Y eso siempre es verdadero. En el caso de coprimos, simplemente dividís a y b, el módulo lo dejás como está.