Necesito saber como es eso de multiplicar por el inverso modular en una ecuación de congruencia.
Por ejemplo.si tengo \(5x\equiv 2(9),o\,en\,general\,ax\equiv b(m)\)Entonces para que exista el inverso a y m deben ser coprimos(¿por qué?),y si ya sabes que son coprimos,como hacés para saber cuál es ese inverso?
Tema
Consulta:multiplicación por inverso modular
Considera los numeros de la forma
\(ax\) donde \(x\) varía entre \(1\) y \(m\)
Si hubiera dos iguales modulo \(m\)
Te quedaria que
$$ax \equiv ay \bmod{m}$$
$$a(x-y) \equiv 0 \bmod{m}$$
Como \(mcd(a,m)=1\)
$$x \equiv y \bmod{m}$$
Por lo tanto cuando \(x\) recorre los valores entre \(1\) y \(m\) la expresion
\(ax\) toma \(m\) valores posibles modulo \(m\) en particular hay un \(c\) tal que
\(ac \equiv 1 \bmod{m}\) que es lo que queríamos ver
Fijate que si no son coprimos no anda ,es fácil ver un contraejemplo, y fijate que tiene sentido por que no puedo usar el mismo "truquito"
espero que ayude
PD: para calcular el inverso es bastante útil el algoritmo de Euclides, aunque para casos chicos es mas fácil verlo a ojo
Firma
Daniel
Y en general, el argumento al "cancelar" numeros cuando estas en Zp es que, sabes que existe el inverso multiplicativo, por lo tanto multiplicas por ese. (No hace falta saber precisamente CUAL es, sino saber que existe.)