Consulta sobre inducción global

Tengo algunas dudas sobre PIG;cuando hago los ejercicios me salen pero no sé si los justifico bien.Por ejemplo si tengo la sucesión definida recursivamente por \(a_1=4,a_2=16,a_3=48,{a}_{n+3}=6{a}_{n+2}-12{a}_{n+1}+8{a}_{n}\)y me piden probar que:\(a_n=n2^{n+1}\)

Entonces es correcto si hago lo siguiente😕verifico que P(1),P(2),P(3) son verdaderas,y supongo \(P(K)\,es\,verdadera\,\forall K\,tal\,que\,K\leq n+2,\)Luego n+2,n+1 y n son naturales menores o iguales que k,entonces por hipotesis inductiva,puedo reemplazar en la fórmula recursiva y probar que \(a_{n+3}=(n+3)2^{n+4}\)entonces P(n) es verdadera para todo n natural.No?

Es tarde, con lo que le puedo errar... pero sí. Estaría mal la conclusión si probaras sólo para \(n\eq=1\) puesto que usás que es válido para \(n\eq=2,n\eq=3\).
Saludos.

tambien podrias aclarar que como tomas n mayor o igual a 1 te queda que n+3 es mayor o igual a 4 y por lo tanto podes usar la formula recursiva.