Hola! Alguien puede ayudarme con alguno de estos ejercicios?
Ejercicio 6
vi) \(\prod_{i=1}^{n}\frac{n+i}{2i-3}=2^n(1-2n)\)
Ejercicio 7
v) \(\sum_{i=n}^{2n}\frac{i}{2^i}\leq n\)
vi) \(\sum_{i=1}^{2^n}\frac{1}{2i-1}>\frac{n+3}{4}\)
Gracias!
Tema
practica 2 ej 6 vi) y ej 7 v) y vi)
Ejercicio 7) v)
$$\sum_{n}^{2n}\frac{i}{{2}^{i}}\leq n$$
P(1) es verdadera.Veamos P(n+1).
$$\sum_{n+1}^{2n+2}\frac{i}{{2}^{i}}$$
Eso es igual a \((\sum_{n}^{2n}\frac{i}{{2}^{i}})+(\frac{2n+1}{{2}^{2n+1}}+\frac{2n+2}{{2}^{2n+2}}-\frac{n}{{2}^{n}})\)
El primer término por hipotesis inductiva es menor o igual que n,con lo cual basta probar que el segundo término es menor o igual que 1.
Operando sobre ese segundo término queda que es menor o igual que 1 si y solo si \(3n+2\leq {2}^{2n+1}+{2}^{n}2n\) y para eso basta ver que \(3n+2\leq {2}^{2n+1}\)
Aplicando inducción nuevamente sobre esta desigualdad(llamemos Q(n) a la proposicion),se verifica que Q(1) es verdadera.veamos Q(n+1)
$$3(n+1)+2=3n+2+3\leq {2}^{2n+1}+3\leq {2}^{2n+1}+ 4\leq 2.{2}^{2n+1}\leq {2}^{2}.{2}^{2n+1}$$
\(\leq {2}^{2n+3}\)(esta ultima es igualdad estricta) y esto es lo que queriamos probar.
Muchas gracias!! 🙂
Perdón por necropostear, pero estoy haciendo el ejercicio 6.f) de la guía del 2012(también conocido como el 6.vi de este tema) y no sé como encararlo.
Como el tema esta abierto, y nunca se respondió este ejercicio, pregunto acá:
Cuando quiero ver que pasa con \(p(n+1)\) me encuentro con lo siguiente:
\(p(n+1):\, \prod_{i=1}^{n+1} \frac{n+1+i}{2i-3} \, = \, 2^{n+1}(1-2(n+1)) \implies \prod_{i=1}^{n+1} \frac{n+1+i}{2i-3} \, = \, \left(\frac{n+1+n+1}{2(n+1)-3}\right) \prod_{i=1}^{n} \frac{n+1+i}{2i-3}\)
Ahora bien, yo necesito hacer que de \(\prod_{i=1}^{n} \frac{n+1+i}{2i-3}\) pueda sacar ese +1 para poder aplicar la hipótesis inductiva, pero no veo como hacer para separarlo
¿Tal vez lo estoy empezando mal? Quien pueda ayudarme se lo agradezco =)
Firma
Me dicen loco, pero somos los locos los que hacemos algo del mundo
Ejercicio 6 vi)
Recordemos lo siguiente:
$$\prod_{i=1}^{n}{a}_{i}{b}_{i} = \prod_{i=1}^{n}{a}_{i} \prod_{i=1}^{n}{b}_{i}$$
Y como consecuencia inmediata:
$$\prod_{i=1}^{n} \frac{{a}_{i}}{{b}_{i}}=\frac{\prod_{i=1}^{n}{a}_{i}}{\prod_{i=1}^{n}{b}_{i}}$$
Con esto presente, ahora el paso inductivo se simplifica.
Por hipótesis inductiva se tiene que:
$$\prod_{i=1}^{n} \frac{n+i}{2i-3} = {2}^{n}(1-2n)$$
Quiero ver que:
$$\prod_{i=1}^{n+1} \frac{n+1+i}{2i-3} = {2}^{n+1}(1-2(n+1))$$
Saco el término \(n+1\) de la productoria y la separo según lo que mostré arriba.
\(\prod_{i=1}^{n+1} \frac{n+1+i}{2i-3}=(\frac{n+1+n+1}{2(n+1)-3}) \prod_{i=1}^{n} \frac{n+1+i}{2i-3} = (\frac{n+1+n+1}{2(n+1)-3}) \frac{\prod_{i=1}^{n}n+1+i}{\prod_{i=1}^{n}2i-3}\) \((*)\)
A la productoria que se encuentra en el numerador le hago un cambio de variable, llamando \(j=i+1\), se tiene que:
$$\prod_{i=1}^{n}n+1+i}=\prod_{j=2}^{n+1}n+j$$
Agregando el término \(j=1\) (multiplico y divido) y sacando el término \(j=n+1\):
$$\prod_{j=2}^{n+1}n+j = (\frac{n+n+1}{n+1}) \prod_{j=1}^{n}n+j = (\frac{n+n+1}{n+1}) \prod_{i=1}^{n}n+i$$
Volviendo a \((*)\):
$$(\frac{n+1+n+1}{2(n+1)-3}) \frac{\prod_{i=1}^{n}n+1+i}{\prod_{i=1}^{n}2i-3}= (\frac{2n+2}{2n-1}) \frac{(\frac{n+n+1}{n+1}) \prod_{i=1}^{n}n+i}{\prod_{i=1}^{n}2i-3} = (\frac{(2n+2)(2n+1)}{(2n-1)(n+1)}) \prod_{i=1}^{n} \frac{n+i}{2i-3}$$
En el último paso junté de nuevo las productorias y acomodé un poco las fracciones. Ahora solo hay que aplicar la hipótesis inductiva y hacer las cuentas.
Saludos.