Bueno, hay ejercicios muy buenos que Quimey y Yossa postearon. Voy a tratar de contribuir, si bien mis ejercicios suelen ser inventos baratos...
Demostrar que si un polinomio es de la forma \({X}^{3}-({b}^{2}+{c}^{2}+{d}^{2})X+a{d}}^{2}+2bcd\), con \(a,b,c,d\in \mathbb{R}\), entonces tiene todas sus raíces reales.
La resolución que yo pensé es:
Bueno, como nos piden demostrar que tiene todas sus raíces reales, podemos recordar que las matrices simétricas se diagonalizan sobre \(\mathbb{R}^{n}\), con lo que podríamos pensar en un principio que ese polinomio es el polinomio característico de una matriz simétrica. El ejercicio termina al ver que:
$$A\eq=\begin{pmatrix} a & b & c \\ b & 0 & d \\ c & d & 0\end{pmatrix}$$
es una matriz cuyo polinomio característico es \({X}^{3}-({b}^{2}+{c}^{2}+{d}^{2})X+a{d}}^{2}+2bcd\). Por ser una matriz simétrica, tiene todos los autovalores reales... y fin. Naturalmente, el ejercicio lo inventé de esta observación. Estaba pensando en los polinomios que se factorizaban linealmente sobre \(\mathbb{R}\), polinomios de grado 3, y bueno, en ese estudio, llegué a esto.
Bueno... ejercicio aburrido...
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I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
Esta idea esta buena porque te da una forma de calcular raices de polinomios (aproximadamente). Por ejemplo si A es una matriz simetrica y \(x_0\) es un vector cualquiera podemos definir \(x_{n+1}=\frac{Ax_n}{||Ax_n||}\). Les dejo como tarea mostrar que \(x_n\) converge a un autovector del autovalor mas grande de A.