Encontre por ahí lo siguiente:
Sea \(f:U\subseteq \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}\) una funcion de clase \(C^2\), recordemos que el laplaciano de f se define como \(\Delta(f)=div(\nabla f)=\sum f_{x_i x_i}\). Dado \(x_0\in U\) llamemos \(\phi(r)=\oint_{\partial B(x_0,r)}f(x)dS\).
- Demostrar que \(\phi'(r)=\frac{n}{r}\oint_{ B(x_0,r)}f(x)dx\)
(quiza considerablemente mas dificil)2) Demostrar que \(\Delta f=0\) si y solo si \(f(x_0)=\oint_{\partial B(x_0,r)}f(x)dx \ \forall r,x_0\)
Nota: \(\oint\) es la integral promediada, es decir, dividida por el volumen(o superficie) del dominio de integración
Firma
Quimey