Este inventé, y espero que sirva para pensar un poco, al menos.
Tenemos la siguiente sucesión cuyos términos son:
$${a}_{1}\eq=\frac{1}{2}$$
$${a}_{2}\eq=\frac{2}{5}+\frac{1}{4}$$
$${a}_{3}\eq=\frac{3}{10}+\frac{3}{13}+\frac{1}{6}$$
$${a}_{4}\eq=\frac{4}{17}+\frac{4}{20}+\frac{4}{25}+\frac{1}{8}$$
$${a}_{5}\eq=\frac{5}{26}+\frac{5}{29}+\frac{5}{34}+\frac{5}{41}+\frac{1}{10}$$
$${a}_{6}\eq=\frac{6}{37}+\frac{6}{40}+\frac{6}{45}+\frac{6}{52}+\frac{6}{61}+\frac{1}{12}$$
Y con esta construcción de la sucesión, se sigue[no escribo el término general, porque perdería el chiste el ejercicio]
Probar que \({a}_{n}\) converge, y hallar dicho valor al que converge.
Acá tres pistas; verlas en caso de no llegar a nada. Sin embargo, son muy delatadoras, así que bueno...
PISTA 1:
El límite al que converge \({a}_{n}\) es \(\frac{\pi}{4}\)... gracioso, ¿no?
PISTA 2:
\(\arctan(\frac{\pi}{4})\eq=1\)
PISTA 3(después de leer esta, terminó el chiste):
\(\int_{0}^{1}\frac{1}{1+{x}^{2}}\,dx\eq=\frac{\pi}{4}\)
Espero que guste el ejercicio. Saludos.
Firma
I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities