Tema
Sea \(A \subset \mathbb R^n\) con la siguiente propiedad: Si \(f: A \longrightarrow \mathbb R\) es continua, entonces alcanza un máximo en \(A\). Demostrar que \(A\) es un conjunto compacto.
Para los curiosos y para los que ya hicieron avanzado [?], ¿es cierto que si \(A\) es un espacio métrico que cumple con esa propiedad, entonces es compacto?
Mmmm... considera en \(\mathbb R\) el conjunto definido por \(A=\{x:x=1/n\mbox{ para algun n}\}\). Resulta que toda función continua alcanza máximo y mínimo, pero el punto de adherencia \(0\) pertenece al complemento de \(A\).
La función \(f(x)=\frac{1}{x}\) es continua en A pero no es acotada superiormente por lo tanto f no alcanza maximo...
Quimey
Debe haber alguna definición de continuidad para la que esa función sea continua en \(A\), pero utilizando que una función es continua \(x=a\) si y sólo si los límites laterales en \(a\) coinciden con \(f(a)\) (salvo para la continuidad lateral, pero se sabe cómo es) pues resulta que acá no existen los límites laterales. El único lugar en el que podría existir un límite es en \(x=0\), pues en su entorno \(A\) es denso, pero ese no es un elemento de \(A\).
En otras palabras, el conjunto de funciones continuas en \(A\) es vacío. Y, en general, así se pueden construir cuanto contraejemplo nos guste.
Si se agregara la condición de que el conjunto de funciones contnuas es distinto de vacío, la proposición seguiría siendo falsa. Bastaría toamar \(A\cup{}[a,b]\). Se podría pedir arco-conexidad. No se me ocurre otra condición menor en este momento. En este caso, para demostrar que es acotado bastaría tomar \(f(x) = \left\|{x}\right\|\) y para demostrar que es cerrado, suponer lo contrario y tomar un punto de la clausura que no pertenezca al conjunto. Definimos una función sobre una curva \(\alpha\) que converja a tal punto \(a\) y la hacemos estallar ahí. De hecho, alguna de las dos siguientes funciones tendrá que servir:
Luego, el conjunto es cerrado.
Edito: En realidad no podemos asegurar que la función esté bien definida así... mejor tomemos lo siguiente:
Deberias repasar tu definicion de continuidad.
Ese conjunto tiene la topologia discreta, todas las funciones que salen de A son continuas.
Una definicion mas util de continuidad es la de preimagen de abierto es abierto.
Es una forma de verlo y ahí resulta como decís. Pero me quedaría ¿en qué subconjunto de \(\mathbb R\) una función constante no sería continua?
Es la forma correcta de verlo, las funciones constantes siempre son continuas
El problema que me surge es el siguiente:
Hay un teorema que afirma que el cardinalidad de las funciones continuas de \(\mathbb R \longrightarrow \mathbb R\) es \(\aleph _1\). Sin embargo, el cardinalidad de \(P(\mathbb R)\) es \(\aleph_2\). Pero resulta que para todo \(x\in P(\mathbb R)\) podemos definir una función \(f:x\longrightarrow \mathbb R\). Esto es lo que no me termina de cerrar.
No me queda claro de que teorema me estas hablando, seguro que el cardinal de \(P(\mathbb{R})\) es \(2^c\). Me da la impresion de que lo que vos decis es la hipotesis del continuo (que no es un teorema).
Ademas no es cierto que siempre puedas extender una funcion definida en un subconjunto de los reales a todos los reales (de manera continua obviamente), un ejemplo es el que yo puse antes de 1 sobre x.
¡Ja! Me faltó escribir una palabra importante.
La cosa es así. Mucha gente me ha dicho, gente que generalmente sabe de matemática, y se lo puede encontrar en la wiki, que entre \(\mathbb R\) y el conjunto de las funciones continuas se puede establecer una biyección, es decir que su cardinalidad es el mismo. Luego, según lo que vos me decís, sobre cualquier subconjunto de \(\mathbb R\) se puede definir una función continua. Y aquí está el problema. Si sobre cualquier subconjunto de \(\mathbb R\) podemos establecer una función continua y entre estas se puede establecer una biyección con \(\mathbb R\), tendríamos una biyección entre \(\mathbb R\) y \(P(\mathbb R)\). Llámese a la cardinalidad como se guste, acá yo veo una contradicción.
Pero qué sé yo... hoy le consultaré a mi profesor a ver qué me dice. Quizá yo recuerde mal y se refería a las funciones ¿derivables? y no continuas. En fin...
Mira aca:
http://en.wikipedia.org/wiki/Cardinalit ... dinality_c
Ahi aparece lo que vos decis, pero fijate que no hay contradiccion, porque del conjunto de funciones que hablan es de las funciones continuas definidas sobre todos los reales, y lo que yo digo que hay es funciones continuas de cualquier subconjunto de los reales en los reales, y no es lo mismo que definidas en todos los reales.
ehm... me parece que estás confundiendo varias cosas, equis. Primero, la función que vos ponés es continua, precisamente porque cumple la condición que vos ponés: si agarrás un punto \(a\) del dominio, y una sucesión \(x_n \to a\), entonces \(f(x_n) \to f(a)\), porque las únicas sucesiones convergentes en ese conjunto son las eventualmente constantes... hay una sucesión que converge a 0 en \(\mathbb R\), pero como 0 NO está en el conjunto, no podés decir que esa sucesión converja a 0.
Acerca de lo de la biyección, sí, para cada \(A \subset \mathbb R\) podés armarte una función continua (por ejemplo, en todos los casos la constantemente 0). El tema es que no necesariamente se corresponde con una función continua definida en todo \(\mathbb R\). Además, pueden ser "la misma función" (por ejemplo, siempre la función nula), aunque restringida a distintos conjuntos. Eso dice que la asignación que decís vos NO es una biyección, que sería problemática...
Yossarian escribió:
ehm... me parece que estás confundiendo varias cosas, equis. Primero, la función que vos ponés es continua, precisamente porque cumple la condición que vos ponés: si agarrás un punto \(a\) del dominio, y una sucesión \(x_n \to a\), entonces \(f(x_n) \to f(a)\), porque las únicas sucesiones convergentes en ese conjunto son las eventualmente constantes... hay una sucesión que converge a 0 en \(\mathbb R\), pero como 0 NO está en el conjunto, no podés decir que esa sucesión converja a 0.
Ya Quimey me aclaró la cuestión. Noté que el teorema de Bolzano es bastante sencillo de demostrar con esta definición y ahí se recupera el sentido intuitivo de continuidad que no veía antes. Con respecto a la sucesión, uno no puede tomar la sucesión que sea \(x_n = a\) porque nosotros, en el cálculo de límite, queremos estar en un entorno de \(a\), pero no en \(a\). Cuando uno se refiere a un punto de acumulación de un conjunto, se refiere a que hay alguna sucesión que converge a ese punto, pero sin tomar ese valor (de lo contrario, un punto aislado sería un punto de acumulación y nosotros queremos evitar eso). Con la definición que brindó Quimey, la proposición se cumple. En otro caso... no veo salvación.
Yossarian escribió:
Acerca de lo de la biyección, sí, para cada \(A \subset \mathbb R\) podés armarte una función continua (por ejemplo, en todos los casos la constantemente 0). El tema es que no necesariamente se corresponde con una función continua definida en todo \(\mathbb R\). Además, pueden ser "la misma función" (por ejemplo, siempre la función nula), aunque restringida a distintos conjuntos. Eso dice que la asignación que decís vos NO es una biyección, que sería problemática...
Bueno... si tenían que estar definidas en todo \(\mathbb R\) está claro que tal biyección no tiene por qué existir (igualmente tengo ganas de encontrar la demostración en algún momento). Pero dos funciones definidas en diferentes conjuntos, son funciones distintas.
En fin... quedó claro cómo es el tema, al menos por mi parte.
En realidad... a medida que pienso más cosas, me queda menos claro. Mi duda ahora es ¿Por qué podríamos decir que la función que propuso Quimey es continua, pero no la función de Dirichlet? (1 si x es racional, 0 si es irracional o al revés)
A ver... una función es continua en un espacio ambiente... y si querés, que \(f:A \to \mathbb R\) sea continua es que si \(a_n \to a\) en \(A\) entonces \(f(a_n) \to f(a)\), sin importar si \(a\) es punto de acumulación, ni nada por el estilo.
La función de Quimey cumple con esa condición... así que es continua. Fijate que el único punto en el que podría fallar es en el \(0\), pero tu espacio ambiente no sabe nada de ese punto...
La función de Dirichlet no es continua en todo \(\mathbb R\) porque, por ejemplo, hay una sucesión de números racionales \(q_n \to \pi\), pero \(0 = D(q_n)\) no tiende a \(D(\pi)=1\).
Yossarian escribió:
A ver... una función es continua en un espacio ambiente... y si querés, que \(f:A \to \mathbb R\) sea continua es que si \(a_n \to a\) en \(A\) entonces \(f(a_n) \to f(a)\), sin importar si \(a\) es punto de acumulación, ni nada por el estilo.
Bárbaro. Entonces me encuentro con las dos siguientes definiciones (según voy entendiendo):
i) Si \(\left\{{a_n}\right\}\subseteq A, a\in{}A, a_n\longrightarrow{}a, f:A\longrightarrow{}B\), entonces, \(f\) es continua en \(a\) si y sólo si \(f(a_n)\longrightarrow{}f(a)\) (para todo \(a_n\) que cumpla las condiciones, claro). Luego, \(f\) es continua en \(A\) si \(\forall x\in A,\,f\) es continua en \(x\). ¿Está bien esto?
ii) Una función \(f:A\longrightarrow{}B\) es continua en \(A\) si dado \(C\subseteq B\) abierto se tiene que \(f^-^1(C)\) (la preimagen de \(f\) en \(C\)) es abierta. ¿Está bien esta definición?
Mi pregunta, por lo tanto, es ¿son equivalentes ambas definiciones?
Las definiciones son correctas y equivalentes.