Bueno, en otro thread Exe y Quimey estuvieron charlando acerca del axioma de elección, que hace su aparición por primera vez (medio escondido) es álgebra lineal. Ocurre que cuando uno está trabajando en espacios de dimensión finita está todo bien, pero en dimensión infinita las cosas se complican. Muchas cuentas empiezan diciendo "agarro una base y...", pero ustedes vieron que todo espacio vectorial de dimensión finita tiene una base...
El axioma de elección afirma que de una familia conjuntos \(\left\{ F_i \right\}_{i \in I \neq \emptyset}\), se puede formar otro conjunto, \(C=\{a_i\}\), donde \(a_i \in F_i\). Curiosamente, esta afirmación está diciendo que todo espacio vectorial (de dimensión finita o infinita) tiene una base... aunque la relación no es muy obvia que digamos.
Esto surgió por una pregunta de Exe, que decía
Encontrar una función \(f:\mathbb{V}\rightarrow \mathbb{V}\)(para un \(\mathbb{K}\)-espacio vectorial \(\mathbb{V}\) conveniente) que cumpla:
a)\(f(v+w)\eq=f(v)+f(w),\forall v,w\in\mathbb{V}\), pero que no sea una transformación lineal.
Usando que hay una base de \(\mathbb R\) como \(\mathbb Q\) espacio vectorial (!), se puede resolver el problema (no es la única forma, obviamente).