Ejercicio 5 Practica 4

Sea f : [a, b] → [a, b] continua. Demostrar que existe c ∈ [a, b] tal que f(c) = c. [Sug.: considere
la funcion continua x − f(x).]

No se me ocurre como usar la sugerencia

Evaluá esa función en a y en b

Me queda h(a)=a-f(a) y h(b)=b-f(b)

y tanto f(a) como f(b) pertenecen a [a,b] (es el codominio de la funcion)

Si, pero como llego de eso a que f(c)=c para algun c.

si f(a) = a, listo, si f(b) = b listo. Pero si f(a) distinto a "a" y f(b) distinto a b entonces a - f(a) es menor a cero, ya que f(a) pertenece a (a,b), y entonces f(a)>a. Por otro lado, entonces b -f(b) es mayor a cero, ya que f(b) pertenece a (a,b) entonces f(b)< b. Entonces, como g(x) es continua y por Bolzano existe un c en (a,b) tal que g(c) = c - f(c) = 0

Ah, claro. Gracias!