Tema
Sea \(f:R^n\rightarrow R^m\) una funcion continua tal que \(f(x)=f(y)\) para todo \(x,y \in Q^n\). Demostrar que f es una funcion constante. Deducir que dos funciones continuas que coinciden sobre \(Q^n\) son la misma funcion.
Alguna idea? Como veo que es constante? Usando que es continua?
Si, hay que usar que es continua. En los racionales es constante por definición, y para los irracionales lo que hice es pensar que para cada irracional hay alguna sucesión de racionales que convergen a él. Entonces por un lado f de esa sucesión es constante y por lo tanto el límite de f(x_n) vale lo que vale la función en cualquier racional. Pero por otro lado la función es continua, entonces lim f(x_n) = f(lim(x_n)) y x_n tiende a algún irracional. Entonces en los irracionales vale lo mismo que en los racionales y es constante.