Ejercicio sobre distancia

Hola, estoy trabado con la parte b) de uno de los ejercicios que nos dejaron para que hagamos y entreguemos. Dice así:
Sean \(A \subseteq\ R^n\) no vacío y \(p\in\ R^n\). Se define la distancia d(p,A) entre p y A como
d(p,A) := inf{||p − a|| : a ∈ A}.
a) Probar que d(p,A) = 0 si y solo si \(p\in\ A\).
b) Probar que si A es cerrado la distancia entre p y A se realiza, esto es, existe q ∈ A tal que d(p,A) = ||p − q||

No se me ocurre bien como encararlo, si me pueden dar una pista seria genial.
Gracias!

El punto a) es falso te faltan hipotesis. Por ejemplo \(p=0\) y \(A=(0,1)\) entonces la distancia de p a A es cero pero p no pertenece a A.

para b) pensá que la distancia se define como el ínfimo de un conjunto. Entonces por propiedad de ínfimo existe una sucesión del conjunto que tiende al ínfimo. (por ende convergente) Y como el conjunto es cerrado toda sucesión convergente tiene la propiedad de que el límite pertenece al conjunto. Escribilo bien y listo!

Para el a) hay que poner \(p\in\overline{A}\).

Ojo con la solución propuesta para el b). Sabés que \(d(p,x_n)\) converge pero eso no garantiza que \(x_n\) sea convergente.

Ah, tenes razon, el a) lo copie mal, era un si solo si p pertenece a la clausura de A. Gracias por las sugerencias! Lo voy a pensar y después si me sale les comento que salio

pero \(x_n\) tiene una subsucesión convergente y con eso basta, va.. creo... jajaj

Perdón, pero no estoy seguro de verlo. Como la distancia de un punto a un conjunto es el ínfimo de las distancias de dicho punto a los puntos del conjunto, tomo una sucesion \(d(p,x_n)\) con \(x_n\subseteq\ A\) que converge al ínfimo. Hasta ahí voy bien, ahora es cuando me trabo. Puedo a esa sucesión construirla de tal manera que el término \(x_i\) esté más cerca de p que el término \(x_{i-1}\). Si es así esa sucesión está acotada y es decreciente, y por lo tanto convergente, y como A es cerrado, converge a un punto de A. Y entonces la distancia entre p y ese punto de A sería la distancia de p a A.

edit: Si alguno leyó este comentario no le haga caso, mezclé las cosas y no tiene sentido

te lo resuelvo: llamamos \(d(p,A)=inf \lbrace ||p-a|| : a \in A \rbrace\) entonces existe una sucesión \({(a_n)}_n \subseteq A\) tal que \(lim ||p - a_n|| = d(p,A)\) luego \({(a_n)}_n\) es acotada. (probalo!!) y por lo tanto tiene una subsucesión convergente \({(a_{n_k})}_k\). Digamos \(lim a_{n_k} = a\) y como \(A\) es cerrado se tiene que \(a \in A\) y además como la norma es una función continua \(||p-a|| = lim ||p - a_{n_k}|| = lim ||p - a_n|| = d(p,A)\) y por lo tanto la distancia se realiza en \(a\).