Continuidad Uniforme

Como hago para probar continuidades uniformes para \(f:R^m\rightarrow R^n\). Ej \(f(x)=(cosx,sinx)\) y \(f(x,y)=x^2+3y\)

¿Probaste plantear la definición?

Por otro lado me parece que la segunda no es uniformemente continua...

Perdon, la consigna es ver si son o no. Probe por definicion pero me trabo, no se como llegar del \(|(x,y)-(x',y')|\) a algo interesante o mostrar que no converge uniformemente.

Yo para el \(f(x) = (cos(x),sen(x))\) vi que era lipschitz en cada coordenada, entonces con eso y usando norma 1 me quedo (puedo hacerlo porque en la clase vimos que en cada bolita cuadrada puedo meter una bolita tradicional y dentro de ella una bolita cuadrada, entonces para estas cosas son equivalentes):
\(||f(x)-f(x')||_1 = ||(cos(x)-cos(x'),sen(x)-sen(x'))||_1 = |cos(x) - cos(x')| + |sen(x)-sen(x')|\). Como coseno y seno son lipschitz porque tienen derivada continua y acotada (en este caso la derivada es menor igual que 1, así que es menor estricto que 2) en todos los reales me queda: \(|cos(x) - cos(x')| + |sen(x)-sen(x')| < 2 |x-x'| + 2 |x-x'| < 4|x-x'|, entonces\ \ elijo\ \delta = {{\epsilon}\over{4}}\) Y ese delta solo depende del epsilon y no de los puntos x,x'. Entonces es uniformemente continua, o sea probé que para cualesquiera x e x' que distan menos que cierta distancia (sin importar que x ni que x'), entonces la f(x) y f(x') también distan menos que otra cierta distancia.

El otro no lo hice del todo completo pero lo pensé así, aprovechando que en clase habíamos visto que la \(f(x) = x^2\) no es uniformemente continua en todos los reales. Habíamos supuesto primero que era uniformente continua, entonces había un delta que servía, y después vimos que ese mismo delta no servía para los puntos x y el x+delta/2, o algo así era.
Entonces si \(f(x,y) = x^2 + 3y\) considero los puntos f(x,0), y es como llevarlo al caso \(f(x) = x^2\)

Qué pasa si tengo...
\(f:(r,+\infty)\to\mathbb{R}^2, \text{ con } f(x)=(\sqrt{x}, \cos x)\), con
a) \(r=0\)
b) \(r>0\)

f es uniformemente continua o no??

Cómo me doy cuenta de si esa f es u.c. o no?

Escribilo en Tex por favor. Asi como está no se entiende nada

Ahí lo edité yo. Recuerdo que es obligatorio escribir expresiones matemáticas usando \(\LaTeX\). Si no sabés usarlo o necesitás ayuda, avisá (igual internet está lleno de tutoriales).

creo que te puede servir que \(|\sqrt{x} - \sqrt{x'}| \leq \sqrt{|x-x'|\), pero hay que probarlo