Es igual que el anterior... Cuando se niega aparece un para todo que hace que sea cerrado
La pregunta es si puedo negar así. M suena turbio decir "bueno, como no está en S, va a cumplir las propiedades tal y tal que son las de ¬S"...
Muchas gracias desde ya
Buen punto... Entonces como se corrige. La definición de cerrado no es que para toda sucesión convergente, converge en S?...
Nueva pregunta:
¿Me serviría empezar con que S es cerrado sii la frontera de S está incluida en S?...
Buen punto... Entonces como se corrige. La definición de cerrado no es que para toda sucesión convergente, converge en S?...
Esa es la definicion de cerrado, pero no es lo mismo que pusiste antes.
Hay una version de la definicion de cerrado que es parecida a la que pusiste antes. Y es que S es cerrado si y solo si:
para todo punto tal que todo intervalo abierto centrado en el punto, este punto esta en el conjunto.
(con palabras es confuso, pero es lo mismo que pusiste antes pero con la implicacion para el otro lado).
Lo que no entiendo es para que usás el intervalo abierto.
O sea, es cerrado si para cada punto del conjunto, se cumple que todo intervalo centrado en el punto.... (hace que el punto esté en el intervalo?)... :S
S es cerrado \(\Leftrightarrow\) (\(\forall x \in \mathbb{R}\) tal que [\(\forall \delta > 0 (x-\delta,x+\delta)\cap S \neq \emptyset\) ]se tiene que \(x \in S\))
Sea \(x \in \mathbb{R} \backslash S\). Luego, como \(x \notin S\), niego la definición de Quimey (pués S es cerrado). Eso es: Existe un delta mayor a 0 tal que \((x-\delta , x+\delta) \cap S = \emptyset\). Por lo que \((x-\delta , x+\delta) \subset \mathbb{R}\backslash S\). Luego S es abierto pues sus puntos son interiores.
Muchas gracias Quimey por bancarme 😉.
Me quedó una duda... Si bien es obvio (dado que uno es abierto...) por qué es que negar que pertenece a S me habilita, necesariamente que no cumpla sus propiedades... No se, es confusa mi pregunta, incluso, hasta filosófica, pero por que negar un conjunto es además negar sus propiedaes. ¿Vale la vuelta? (al parecer si, si niego las propiedades de un conjunto, niego que el elemento pertenezca al conjunto).
Bueno... a quién quiera responder... desde ya, gracias.
No es cierto lo que decis, negar que pertenece a S no te habilita a negar sus propiedades.
En este caso vale porque es un si y solo si, pero si no no se puede.
Ejemplo:
un conjunto tiene la propiedad Q si todos sus elementos son mayores a 0 y menores a 1.
Si S es Q y x no pertenece a S no podes garantizar que no es mayor a 0.
