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[con muchas dudas] Ejercicio 1 p/ entregra TT 2do cuat 2009

3 respuestas 6340 visitas 2009-12-26

#1 Erizo 2009-12-26 21:49

Hola!.
Yo iba a la mañana y me puse a hacer los ejercicios de la tarde para practicar. Haciendo el primero se me ocurrió algo muy turbio que para mi que está mal, pero por ahí le pegué, que me dicen?

$Sea $(a_n)_{n\in \mathbb{N}}$ una sucesi\'on de t\'erminos positivos. Consideremos la sucesi\'on $\sigma(n)_{n \in \mathbb{N}}}$ definida por:

\sigma(n) = \frac{a_1 +a_2+a_3... + a_n}{n}

$Probar que si $\lim_{n \to \infty} \sigma(n) = 0 \Rightarrow \lim_{n \to \infty} a_n = 0

$$Como $\sigma_n$ converge entonces es de Cauchy. Como es de Cauchy,$

\forall \epsilon >0, \exists n_0$ tal que si $n,m > n_0 \Rightarrow \vert \sigma_m - \sigma_n \vert < \epsilon

$Supongamos que $m > n$, no se pierde generalidad si fuera al rev\'es

\vert \sigma_m - \sigma_n \vert = \vert \frac{\sum_{i=1}^{n} a_i}{n} - \frac{\sum_{i=1}^{m} a_i}{m} \vert <\epsilon

$Lo que se me ocurri\'o que no se si est\'a bien es esta cota:

$$$como $m>n,$$

n \vert \sum_{i=1}^{n} a_i - \sum_{i=1}^{m} a_i\vert <\frac{\sum_{i=1}^{n} a_i}{n} - \frac{\sum_{i=1}^{m} a_i}{m} \vert <\epsilon

$$$O sea que:$$

n \vert \sum_{i=1}^{n} a_i - \sum_{i=1}^{m} a_i\vert = n \vert \sum_{i=n}^{m} a_i \vert < \epsilon

Luego,

\vert \sum_{i=n}^{m} a_i \vert < \frac{\epsilon}{n}

$$Pero como conclusi\'on, la suma es menor a espilon, cada t\'ermino debe ser menor a epsilon, luego son todos cero. Luego, limite inferior de $a_n$ es cero$ Quizás habría que explicar mejor la conclusión, igual creo que se entiende. La pregunta del millón es si sirve la cota o mandé fruta... Un saludo y gracias

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#2 ALE 2009-12-27 08:41

Hola
A ver, hay algo que no entendí, en tu cota cuando pasás de n por la diferencia de las sumas parciales hasta n y hasta m que es menor que las sumas dividido n y dividido m... eso no sé si está bien porque no esntedí de donde lo sacás.

Pero lo que seguro no es correcto es la conclusión final, puesto que vos elejiste el n_o a partir del épsilon que tomaste. Fijate además que por ejemplo si tomás $a_n=\frac{1}{2^n}$ de términos positivos te queda que para cada n $\sigma_n=\frac{\frac{3}{2}(1-\frac{1}{2^n})}{n}\rightarrow 0$ y sin embargo es falso que $a_n=0$ para cada n.

#3 Erizo 2009-12-27 17:19

lo de la cota es algo de este estilo:

\vert \frac{\sum_{i=1}^{n} a_i}{n} - \frac{\sum_{i=1}^{m} a_i}{m} \vert < \vert \frac{\sum_{i=1}^{n} a_i}{n} - \frac{\sum_{i=1}^{m} a_i}{n} \vert = \vert \frac{\sum_{i=n}^{m} a_i}{n}} \vert < \epsilon

Ahora que veo, mi cota no es esa 😛... Igual supongo que sirve, pero no es lo uqe había pensado :p

Lo de la conclusión, es cierto que es cualquiera, igual se soluciona acotando por el mayor elemento...
(sigo con ESTA cota que parece ser más potable, en realidad no cambia demasiado sino como llamo la constante, pero bueno)

Sea $a_k$ el mayor elemento de $\{a_n\}, n \leq k \leq m$

\vert \frac{\sum_{i=n}^{m} a_i}{n}} \vert < \frac{m-n}{n}a_k < \epsilon

O sea, acoto por el mayor elemento de $a_n$. Luego a_k es tan chico como yo quiera, luego $liminf a_n = 0$ dado que la sucesión tomar infimo es monótona creciente y existe un elemento que está muy cerca del cero Che, igual... me da muchas dudas esto, pero no puedo encontrar donde está el error...

#4 ALE 2009-12-27 17:37

A ver...

la suma esa no te da m-n. Pero igual no entiendo l aidea de tu demostración. Me parece que lo que confundís es que estas intentando demostrar que el límite de a_n es 0, cuando en realidad te piden el límite inferior. Supongo que ese procedimiento que hacés tratando de acotar a_k no es tan eficaz. fijate además que vos hacés que a_k sea tan chico como se queira, pero entre los términso que van de A_n a a_m que se prefijaron, eston no te asegura entonces que $a_k\rightarrow 0$

Te aconsejo que uses esa propiedad de lími inferior que dice que : $liminf(a_n)=L$ si y solo si se verifican :

$\forall\epsilon>0\exists n_o$ tal que $a_n>L-\epsilon$
$\forall\epsilon>0$ xisten infinitos n tales que $a_n<L+\epsilon$

Si vos verificás estas dos condiciones para L=0 tea segurás que lininf(a_n)=0

saludos y suerte... me voy a estudiar Anañlisis 2 que doy el final el martes :S