Dice...
sea \(f:S\subseteq\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\). Demostrar que es uniformemente contínua en S si y solo si para todo par de sucesiones \(](x_n)(y_n)\subseteq S\) talq ue \(lim_n(x_n-y_n)=0\), se verifica que \(lim_n(f(x_n)-f(y_n))=0\)
Directo
Sea \(\epsilon>0\) Luegocomo f es UC, existe un deltapositivo tal que \(|x-y|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(y)|<\epsilon\) (1)
considero el mismo delta que recién, entonces como \(lim_n(x_n-y_n)=0\), existe un \(n_*\in\mathbb{N}\) tal que \(n\geq n_*\Rightarrow |x_n-y_n|<\delta\Rightarrow|f(x_n)-f(y_n)|<\epsilon\) Esto úlitmo por (1) y listo...
Reciproco
Poir el absurdo supongamos que f no es UC, luego existe un \(\epsilon>0\)tal que para cada delta positivo existen x e y tales que \(|x-y|<\delta\) y de todos modos \(|f(x)-f(y)|\geq\epsilon\)
Bueno... para cada \(n\in\mathbb{N}\) tengo que \(|x_n-y_n|<\frac{1}{n}\) tomando \(\delta=\frac{1}{n}\), luego \(lim_n|x_n-y_n|=0\rightarrow lim_n(x_n-y_n)=0\)
Pero por hipótesisi ocurre entonces que \(|f(x_n)-f(y_x)|\geq\epsilon\) lo que asegura que \(f(x_n)-f(y_n)\)no puede tender a 0, contradiciendo la hipótesis, luego es cierto el recíproco
Ta bien? la vuelta dudo acerca de la negación pero buen... opiniones?