\(f\)dada f de R en R, Probar la equivalencia de
a) f es continua en R
b) \(\forall G\subseteq\mathbb{R}\) abiertp, \(f^{-1}(G)\) es abierto
c) \(\forall A\subseteq\mathbb{R}\) cerrado, \(f^{-1}(A)\) es cerrado
Arremanguémosnos...
\(a)\Rightarrow b)\)
Sea \(x_0\in f^{-1}(G)\Rightarrow f(x_o)\in G\) pero por ser G abierto, \(\exists k>0\) tal que \((f(x_o)-k,f(x_0)+k)\subseteq G\) Como f es continua ocurre que para todo \(\epsilon>0\) se tiene que \(f(x_0)-\epsilon<f(x)<f(x_0)+\epsilon\) siempre que \(|x-x_0|<\delta\) para algún delta.
Eligiendo \(\epsilon=k\) tengo que \(f(x)\in G\) O sea... \(x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)\Rightarrow f(x)\in G\Rightarrow (x_0-\delta,x_0+\delta)\subseteq f^{-1}(G)\) O sea que \(f^{-1}(G)\) es abierto
$$b)\Rightarrow c)$$
Sea A cerrado, veamos que \((f^{-1}(A))^c\) es abierto.
Sea \(x\in (f^{-1}(A))^c\Rightarrow x\notin f^{-1}(A)\Rightarrow x\in f^{-1}(A^c)\)
Como A es cerrado, su complemento es abierto luego por hipótesis \(f^{-1}(A^c)\) es tambien abierto. Luego existe r>0 tal que \((x-r,x+r)\subseteq f^{-1}(A^c)\subseteq (f^{-1}(A))^{c}\) Luego \((f^{-1}(A))^c\) es abierto, o sea que \(f^{-1}(A)\) es cerrado